Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Seja f x = x e x .

(a) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , e os seus pontos de máximo/mínimo.

(b) Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão.

(c) Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .

(d) Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c).

Passo 1

Então pessoal, essa é uma questão muito importante, então vamos juntos resolvê-la passo a passo.

(a) Pra encontrar os intervalos de crescimento ou decrescimento, temos que olhar par o sinal da derivada da função.

Então primeiro vamos calcular essa derivada:

f ' x = d d x x e x  

E aí temos que usar a regra do produto:

f ' x = x d d x e x + e x d d x x

A derivada de e x é e x mesmo! E a derivada de x é 1 , então:

f ' x = x e x + e x

f ' x = e x 1 + x

Ok, agora vamos dar uma olhada no sinal dessa função.

Passo 2

Quando essa derivada é maior do que zero?

f ' x > 0  

e x   1 + x > 0

Dividindo os dois lados por e x :

1 + x > 0

x > - 1

Quando a derivada é maior do que zero, a função é crescente, e vice-versa, então:

x > - 1           f u n ç ã o   c r e s c e n t e x < - 1           f u n ç ã o   d e c r e s c e n t e

E quando x = - 1 ?

f ' - 1 = e x 1 - 1 = 0

Então temos um ponto crítico nesse ponto. Já vamos descobrir se é um máximo ou mínimo.

Passo 3

(b) Para descobrir a concavidade dessa função, temos que calcular a derivada segunda:

f ' ' x = d d x f ' x

f ' ' x = d d x e x   1 + x

f ' ' x = d d x e x + d d x x e x

A derivada de e x é e x mesmo, e o segundo termo ali é exatamente a derivada que a gente calculou no passo anterior, então:

f ' ' x = e x + e x   1 + x = e x 2 + x

Agora vamos pensar no sinal dessa função:

e x 2 + x > 0

Mais uma vez, vamos dividir por e x dos dois lados:

2 + x > 0

x > - 2

Quando a derivada segunda é maior do que zero, a concavidade é para cima, e vice-versa, então:

x > - 2           c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a x < - 2           c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

E quando x = - 2 a derivada segunda é zero, ou seja, temos um ponto de inflexão em x = - 2 .

Passo 4

E agora a gente já tem informação suficiente pra classificar aquele ponto crítico que achamos em x = - 1 .

Como a concavidade é voltara para cima em x > - 2 , então o ponto crítico em x = - 1 é um ponto de mínimo.

Só pra lembrar, a regra pra classificar os pontos críticos é essa aqui:

f ' x = 0         ⇒           f ' ' x > 0           p o n t o   d e   m í n i m o f ' ' x < 0           p o n t o   d e   m á x i m o

Passo 5

(c) O próximo passo é encontrar as assíntotas horizontais e verticais.

O primeiro passo pra fazer isso é ver o que acontece nos limites quando x → ± ∞ .

No caso do x → ∞ , as duas funções “explodem”, e então o limite é + ∞ . Isso quer dizer que não temos uma assíntota nesse ponto.

lim x → ∞ ⁡ x e x = ∞

E quando x → - ∞ , a coisa complica um pouco:

lim x → - ∞ ⁡ x e x

Se a gente arrumar ou pouco essa função, dá pra aplicar a regra de L’Hospital:

lim x → - ∞ ⁡ x e - x

Beleza, agora tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, então dá pra aplicar a regra. Para isso, temos que derivar as duas funções:

d d x e - x = - e - x           e         d d x x = 1

Então:

lim x → - ∞ ⁡ x e - x = lim x → - ∞ ⁡ 1 - e - x = lim x → - ∞ ⁡ - e x

Agora sim, quando x tende a - ∞ , essa função vai tender a zero.

Ou seja, temos essa situação aqui:

lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0

A função tende a um valor finito quando x tende a - ∞ . Então temos uma assíntota horizontal em y = 0 quando x → - ∞ .

Passo 6

Será que temos alguma assíntota vertical? Bom, esse tipo de assíntota aparece nesse caso aqui:

lim x → a ⁡ f x = ± ∞

Ou seja, quando a função tende a um valor infinito quando x tende a um valor finito.

Vamos olhar pra nossa função:

f x = x e x

Ela só explode nos extremos x → ± ∞ , então não temos nenhuma assíntota vertical.

Passo 7

Então tá, agora chegou a hora de esboçar o gráfico, vamos listar tudo que a gente descobriu até aqui:

C r e s c i m e n t o           x > - 1           f u n ç ã o   c r e s c e n t e x < - 1           f u n ç ã o   d e c r e s c e n t e

P o n t o s   C r í t i c o s           x = - 1           p o n t o   d e   m í n i m o

C o n c a v i d a d e           x > - 2           c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a x < - 2           c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

P o n t o   d e   I n f l e x ã o             x = - 2

A s s í n t o t a s           y = 0   e   x → - ∞           a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l

Beleza, com isso já dá pra desenhar o gráfico. Uma boa ideia é seguir esses passos aqui:

1. Perceba que o gráfico cruza a origem, porque f 0 = 0 .

2. Desenhe uma curva com crescimento exponencial a partir do - 1 até o + ∞ . Sabendo que a função tem um valor pequeno e negativo em x = - 1 .

3. Desenhe uma curva com decrescimento exponencial a partir do - 1 , e que faz uma assíntota no eixo horizontal quando x → - ∞ . Com o ponto de mínimo em x = - 1 .

4. Nessa curva aí do passo 2, deixe o ponto de inflexão (quando a concavidade “vira” de sentido), no ponto x = - 2 .

Beleza, com isso você já deve chegar em um gráfico como esse aqui:

Resposta

(a) A função é crescente em x > - 1 e decrescente em x < - 1 . Tem um ponto de mínimo em x = - 1 .

(b) A função é côncava para cima em x > - 2 e côncava para baixo em x < - 2 . Tem um ponto de inflexão em x = - 2 .

(c) A função tem uma assíntota horizontal em y = 0 quando x tende a - ∞ .

(d) Ver esboço.

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