Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Considere a função f x = x . e 1 x :

a Determine o domínio de f .

b Determine os pontos de máximo e mínimo locais de f .

c Determine todas as assíntotas da curva y = f x .

d Esboce o gráfico de f contemplando todos os elementos obtidos acima.

Passo 1

a No termo da função f x só temos um limitante para nosso domínio: o 1 x do expoente não pode ter seu denominador nulo, ou seja, temos que ter x ≠ 0 .

D o m :   R - 0

Passo 2

b Para procurar máximos e mínimos devemos otimizar a função, derivando ela e igualando a zero para achar os pontos críticos. Vamos derivar pela Regra do Produto:

f ' x = x ' e 1 x + x e 1 x '

= e 1 x + x e 1 x 1 x '

= e 1 x + x e 1 x - 1 x 2

= e 1 x 1 - 1 x

= e 1 x x - 1 x

O único ponto onde f ' x = 0 é quando x = 1 , nosso único ponto crítico.

Se x = 0 não faz parte do domínio nós vemos que essa derivada é contínua em todo domínio. O sinal não depende da exponencial, então só dependerá do x - 1 e do x . Vamos fazer o quadro de sinais para esses termos, assim podemos analisar se o ponto é de máximo ou de mínimo em x = 1 :

Como vemos, a derivada é negativa entre 0 e 1 e a partir daí é positiva, o que constitui um ponto de mínimo. Vemos também que a função é crescente em ] - ∞ , 0 [ e ] 1 , ∞ [ , sendo decrescente em ] 0,1 [ .

Passo 3

c Procuramos por assíntotas. Sabemos que as verticais estão relacionadas com descontinuidades no domínio. Sendo assim, vamos ver se algum dos limites laterais na descontinuidade x = 0 explode para ± ∞ :

lim x → 0 + ⁡ x . e 1 x = 0 e ∞ = 0 ∞ → i n d e t e r m i n a ç ã o

lim x → 0 + ⁡ x . e 1 x = lim x → 0 + ⁡ e 1 x 1 x → L ' H lim x → 0 + ⁡ e 1 x 1 x ' 1 x '

= lim x → 0 + ⁡ e 1 x = ∞

lim x → 0 - ⁡ x . e 1 x = 0 e - ∞ = 0 0 = 0

O limite lateral por valores maiores que 0 explodiu para , assim a gente já garante que tem uma assíntota vertical em x = 0 .

Passo 4

Vamos olhar agora por assíntotas horizontais:

lim x → ∞ ⁡ x . e 1 x = ∞ e 0 = ∞ 1

= ∞

lim x → - ∞ ⁡ x . e 1 x = - ∞ e 0 = - ∞ 1

= - ∞

Não existem assíntotas horizontais, já que os limites explodiram para ± ∞ , mas ainda podem haver assíntotas oblíquas!

Passo 5

Vamos modelar as assíntotas por y = m x + n para o lado do x → ∞ e por y = m * x + n * para x → - ∞ . Por definição, os coeficientes das assíntotas são dados por:

m = lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ x e 1 x x

= lim x → ∞ ⁡ e 1 x = e 0

= 1

n = lim x → ∞ ⁡ f x - m x = lim x → ∞ ⁡ x e 1 x - x

= lim x → ∞ ⁡ x e 1 x - 1 = ∞ 1 - 1 = ∞ 0 → i n d e t e r m i n a ç ã o

lim x → ∞ ⁡ e 1 x - 1 1 x → L ' H lim x → ∞ ⁡ e 1 x 1 x ' 1 x '

= lim x → ∞ ⁡ e 1 x = 1

Achamos a assíntota y = x + 1 para a direita. Agora procuremos para a esquerda, com x tendendo a - ∞ .

m = lim x → - ∞ ⁡ f x x = lim x → - ∞ ⁡ x e 1 x x

= lim x → - ∞ ⁡ e 1 x = e 0

= 1

n = lim x → - ∞ ⁡ f x - m x = lim x → - ∞ ⁡ x e 1 x - x

= lim x → - ∞ ⁡ x e 1 x - 1 = - ∞ 1 - 1 = ∞ 0 → i n d e t e r m i n a ç ã o

lim x → - ∞ ⁡ e 1 x - 1 1 x → L ' H lim x → - ∞ ⁡ e 1 x 1 x ' 1 x '

= lim x → - ∞ ⁡ e 1 x = 1

A mesma assíntota, achamos y = x + 1 para a esquerda.

Passo 6

d Agora partiríamos para o esboço. Antes vamos fazer a análise da derivada segunda, que nos dá informações sobre a concavidade do gráfico. Achamos a derivada segunda pelas Regras de derivação do Produto e do Quociente:

f ' ' x = e 1 x ' x - 1 x + e 1 x x - 1 x '

= e 1 x 1 x ' x - 1 x + e 1 x x - 1 ' x - x - 1 x ' x 2

= e 1 x - 1 x 2 1 - 1 x + 1 x 2

= e 1 x x 3

Como vemos, se a exponencial é um valor sempre positivo, vemos que o sinal da derivada segunda só depende de x 3 , que é negativo em x < 0 e positivo para x > 0 . Resumindo, concavidade para cima para valores positivos e para baixo para valores negativos.

Agora, juntando tudo que vimos na questão, temos o seguinte:

- D o m :   R - 0

- f   é   c r e s c e n t e   e m   ] - ∞ , 0 [   e   ] 1 , ∞ [   ; é   d e c r e s c e n t e   e m   ] 0,1 [

- P o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l   e m   x = 1

- A s s .   v e r t i c a l : x = 0   ; A s s .   h o r i z o n t a l : -

- A s s .   O b l í q u a : y = x + 1 ,   p a r a   x → ∞   e   x → - ∞

- f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   p a r a   x > 0   e   p a r a   b a i x o   q u a n d o   x < 0

- lim x → 0 + ⁡ x . e 1 x = ∞   ; lim x → 0 - ⁡ x . e 1 x = 0   ; lim x → ∞ ⁡ x . e 1 x = ∞   ; lim x → - ∞ ⁡ x . e 1 x = - ∞

Assim, o gráfico será:

Resposta

a   D o m :   R - 0

b   P o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l   e m   x = 1 ; n ã o   h á   m á x i m o   l o c a l

c   A s s .   v e r t i c a l : x = 0   ; A s s .   h o r i z o n t a l : -   ;

A s s .   O b l í q u a : y = x + 1 ,   p a r a   x → ∞   e   x → - ∞

d   f i g u r a   a c i m a

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