Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

A respeito das seguintes funções

I.

f x = x + 1 x

II.

g x = 4 x + 5 x 2 + 1

Determine:

a) Domínio;

b) Intersecções com os eixos (explicitar as raízes);

c) Assíntotas, caso existam;

d) Intervalos de crescimento ou decrescimento;

e) Pontos de máximo ou mínio locais e absolutos da função, e os respectivos valores da função nesses pontos;

f) Concavidade e ponto de inflexão;

g) Use as informações dos itens (a-f) para esboçar o gráfico da função.

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora esboçar uns gráficos?

Esse é aquele tipo de problema super tradicional de seguir o roteiro e esboçar o gráfico das funções. Vamos começar pela primeira função

f x = x + 1 x

A única restrição do domínio é que o denominador não pode se anular, de modo que

x ≠ 0

Portanto,

D f = x ∈ R     x ≠ 0 }

Como x ≠ 0 , a função não intercepta o eixo y (vertical). Para achar as raízes, fazemos

f x = 0 → x + 1 x = 0

Portanto,

x 2 = - 1

Essa equação não tem solução real, de modo que a função não apresenta raízes, isto é, não corta o eixo x .

Passo 2

Agora vamos verificar se f apresenta assíntotas. Para isso, vamos lembrar um pouquinho das assíntotas oblíquas do tipo y = a x + b . O coeficiente angular a é encontrada fazendo

a = lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ x + 1 x x = lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 = 1

Como o limite é finito, a função apresenta esse tipo de assíntota! Vale destacar que para x → - ∞ obtemos o mesmo resultado:

lim x → - ∞ ⁡ f x x = 1

Para achar o coeficiente linear b , fazemos

b = lim x → ∞ ⁡ f x - a x = lim x → ∞ ⁡ x + 1 x - x = lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

O mesmo acontece para x → - ∞ . Desta forma, tanto para x → ∞ como para x → - ∞ , o gráfico de f apresenta uma assíntota oblíqua cuja equação é

y = 1 ⋅ x + 0 → y = x

Vamos ver o que acontece quando x → 0 . Pela direita, temos

lim x → 0 + ⁡ f x = 0 + 1 0 + = + ∞

Pela esquerda:

lim x → 0 - ⁡ f x = 0 + 1 0 - = - ∞

Vemos que a reta x = 0 corresponde a uma assíntota vertical do gráfico da função!

Passo 3

Para analisar os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que derivar a função:

f ' x = 1 - 1 x 2 = x 2 - 1 x 2

Os pontos críticos ocorrem quando f ' x = 0 :

x 2 - 1 = 0 → x = ± 1

Desta forma, podemos construir o varal:

Vemos que a função é crescente nos intervalos ] - ∞ ,   - 1 [ e ] 1 ,   + ∞ [ , e decrescente nos intervalos ] - 1 ,   0 [ e ] 0 ,   1 [ .

Como a função explode para ± ∞ (ver assíntotas), ela não apresenta máximos ou mínimos globais, mas pode apresentar locais!

Repare que em x = - 1 , a função cresce antes e decresce depois, correspondendo a um máximo local. Já em x = 1 ocorre o inverso, correspondendo a um mínimo local. Observe que

f - 1 = - 1 + 1 - 1 = - 2

f 1 = 1 + 1 1 = 2

Passo 4

Vamos olhar agora para a concavidade e, para isso, tomamos a segunda derivada:

f ' ' x = 2 x 3

Portanto, o sinal de x controla o sinal de f ' ' x . Para x > 0 , temos f ' ' x > 0 , de modo que nessa região a curva é concava para cima (feliz). Já para x < 0 , temos f ' ' x < 0 com a concavidade sendo para baixo (triste). Observe que não existe ponto em que f ' ' x = 0 , de modo que a função não apresenta pontos de inflexão.

De posse de todas essas informações podemos esboçar o gráfico da função:

Em pontilhado desenhei a assíntota oblíqua y = x . Observe os pontos de máximo e mínimo locais, intervalos de crescimento e decrescimento, bem como a concavidade em cada região. Note também que a curva não corta nenhum dos eixos.

Passo 5

Ufa, finalizamos a discussão da primeira função. Agora vamos partir para a segunda:

g x = 4 x + 5 x 2 + 1

Como x 2 + 1 nunca se anula, não temos restrição nenhuma quanto aos valores que x pode assumir, de modo que o domínio de g é real:

D g = R

Para achar a interseção com o eixo y , fazemos x = 0 :

g 0 = 5

Já para achar a interseção com o eixo x (raiz):

g x = 0 → 4 x + 5 = 0 → x = - 5 4

Além disso,

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

lim x → ± ∞ ⁡ f x x = lim x → - ∞ ⁡ f x x = 0

Isso significa que as assíntotas no infinito são horizontais, mais precisamente a reta

y = 0

Passo 6

Agora derivamos g usando a regra do quociente:

g ' x = 4 x + 5 ' ⋅ x 2 + 1 - 4 x + 5 ⋅ x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

g ' x = 4 x 2 + 1 - 2 x 4 x + 5 x 2 + 1 2 = 4 - 10 x - 4 x 2 x 2 + 1 2

Os pontos críticos ocorrem quando g ' x = 0 :

4 x 2 + 10 x - 4 = 0 → x = - 10 ± 100 - 4 ⋅ 4 ⋅ - 4 2 ⋅ 4

x = - 10 ± 2 41 8 = - 5 ± 41 4

Logo, temos dois pontos críticos:

x = - 5 - 41 4                 e             x = - 5 + 41 4

Considerando que x 2 + 1 2 > 0 , o sinal de g ' é determinado pelo numerador 4 - 10 x - 4 x 2 , que corresponde a uma função do segundo grau. Com isso, é fácil fazer o varal:

A função é decrescente nos intervalos x < - 5 - 41 4 e x > - 5 + 41 4 , e crescente no intervalo - 5 - 41 4 < x < - 5 + 41 4 .

Como a função tende a 0 quando x → ± ∞ , os pontos de máximo e mínimo locais correspondem aos máximo e mínimo globais! O máximo ocorre em

g - 5 + 41 4 ≈ 5,702

Já o mínimo:

g - 5 - 41 4 ≈ - 0,702

Passo 7

Estamos quase terminando, falta só olhar para a segunda derivada:

g ' ' x = 4 - 10 x - 4 x 2 ' ⋅ x 2 + 1 2 - 4 - 10 x - 4 x 2 ⋅ x 2 + 1 2 ' x 2 + 1 4

g ' ' x = - 10 - 8 x x 2 + 1 2 - 4 - 10 x - 4 x 2 ⋅ 2 x 2 + 1 ⋅ 2 x x 2 + 1 4

Logo,

g ' ' x = - 10 - 8 x x 2 + 1 - 4 x 4 - 10 x - 4 x 2 x 2 + 1 3

g ' ' x = 8 x 3 + 30 x 2 - 24 x - 10 x 2 + 1 3

O denominador é sempre positivo de modo que o denominador controla o sinal da função! A seguir faço um varal considerando as raízes do polinômio:

Eu usei uma calculadora gráfica para achar as raízes do polinômio já que isso não é uma tarefa tão trivial de ser feita a mão. Vale lembrar que essa prova foi feita à distância num contexto de pandemia, então esses recursos estavam disponíveis! Numa prova presencial isso seria impraticável.

Agora só resta fazer o esboço do gráfico e fechamos o problema:

Resposta

D f = x ∈ R     x ≠ 0 }

f não intercepta os eixos

assíntota de f para x → ± ∞ : y = x

f é crescente em ] - ∞ ,   - 1 [ ] 1 ,   ∞ [

f é decrescente em ] - 1 ,   0 [ ] 0 ,   1 [

máximo local: f - 1 = - 2

mínimo local: f 1 = 2

f é concava para cima para x > 0 e concava para baixo quando x < 0

D g = R

interseções de g com os eixos: 0 ,   5 e - 5 4 ,   0

assíntota de g para x → ± ∞ : y = 0

g é crescente para - 5 - 41 4 < x < - 5 + 41 4

g é decrescente para x < - 5 - 41 4 e x > - 5 + 41 4

máximo global:   g - 5 + 41 4 ≈ 5,702

mínimo global: g - 5 - 41 4 ≈ - 0,702

g é concava para cima quando - 4,371 < x < - 0,308 e x > 0,929

g é concava para baixa quando x < - 4,371 e - 0,308 < x < 0,929

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