Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Considere a função

f x = x 2 e - x .

Determine, caso existam:

a) as equações das assíntotas horizontais do gráfico de f .

b) as equações das assíntotas oblíquas do gráfico de f .

c) os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .

d) Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico da função f e suas retas assíntotas. Mas em seu desenho as abcissas dos pontos de máximo local e mínimo local do gráfico de f , caso existam.

Passo 1

a) Vamos lá! Para achar as assíntotas horizontais de

f x = x 2 e - x

a gente vai calcular os limites dessa função quando 𝑥→∞ e 𝑥→−∞. Aí se eles derem um número, sabemos que temos esse tipo de assíntota, belezinha?

Vamos começar olhando se há uma assíntota na direita do gráfico:

lim x → ∞ ⁡ x 2 e - x = lim x → ∞ ⁡ x 2 e x → ∞ ∞

Como a gente caiu numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ , podemos usar L’Hospital:

→ L ' H → lim x → ∞ ⁡ ( 2 x ) ' ( e x ) ' = lim x → ∞ ⁡ 2 x e x = ∞ ∞

Vamos usar L’Hospital de novo:

→ L ' H → lim x → ∞ ⁡ 2 e x = 0

Como deu um número, a gente pode dizer que há uma assíntota para a direita de equação y = 0 .

Passo 2

Vamos ver se tem assíntota para a esquerda:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x → ∞ ⋅ ∞ → ∞

Daí a gente tira que não temos assíntota para a esquerda, já que nosso limite explodiu para infinito, ou seja, não deu um número.

Passo 3

b) Precisamos achar as assíntotas oblíquas. Só teremos duas no máximo, uma para esquerda e outra para direita. Maaas, como a gente já tem uma assíntota horizontal para a direita, não teremos a oblíqua para esse lado.

Então a gente só precisa testar se há uma assíntota oblíqua para a esquerda. E para fazer isso, a gente vai tentar montar a equação da reta que representa essa assíntota:

y = m x + b

Calculando os limites:

m = lim x → - ∞ ⁡ f x x ,     b = lim x → - ∞ ⁡ f x - m x

Repara que x → - ∞ , já que estamos olhando para a esquerda do gráfico. Bora lá!

Passo 4

Temos

f x = x 2 e - x

A gente sempre começa calculando m :

m = lim x → - ∞ ⁡ f x x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x x = lim x → - ∞ ⁡ x e - x = - ∞ ⋅ ∞ → - ∞

Como esse m explodiu para menos infinito, a gente vai dizer que não há assíntotas oblíquas no nosso gráfico.

Passo 5

c) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função é o mesmo que ver os intervalos onde a derivada assume valores positivos (aí a função está crescendo) e valores negativos (aí nossa função está decrescendo).

Bora começar derivando a função:

f x = x 2 e - x = x 2 e x

Como é uma fração, precisamos usar a regrinha do quociente:

f ' x = 2 x e x - x 2 e x e x 2 = 2 x - x 2 e x = 1 e x 2 x - x 2

Passo 6

A gente vê que o termo 1 / e x não vai influenciar no nosso sinal, porque ele é sempre positivo e está em produto com o outro termo. Aí podemos olhar só para o sinal do termo que sobrou:

( 2 x - x 2 )

Vamos achar em que pontos ele zera (porque aí encontramos os intervalos onde os sinais são diferentes entre si).

x 2 - x = 0 ∴ x = 0 ,   x = 2

Então a gente precisa avaliar o sinal da derivada nesses intervalos:

- ∞ , 0 , 0 , 2 , 2 , + ∞

Passo 7

Vamos testar o sinal da derivada em cada um deles:

f ' x = 1 e x 2 x - x 2

- - ∞ , 0

Podemos escolher um ponto dentro desse intervalo para ver o sinal da derivada, por exemplo x = - 1 :

f ' - 1 = 1 e - 1 - 2 - 1 = e 1 - 3 = - 3 e 1

Como deu um valor negativo, a gente diz que nossa função está decrescendo nesse intervalo.

- 0 , 2

Podemos escolher um ponto dentro desse intervalo para ver o sinal da derivada, por exemplo x = 1 :

f ' 1 = 1 e 1 2 - 1 = 1 e 1 = 1 e

Como deu um valor positivo, a gente diz que nossa função está crescendo nesse intervalo.

- 2 , + ∞

Podemos escolher um ponto dentro desse intervalo para ver o sinal da derivada, por exemplo x = 3 :

f ' 3 = 1 e 3 6 - 9 = 1 e 3 - 3 = - 3 e 3

Como deu um valor negativo, a gente diz que nossa função está decrescendo nesse intervalo.

Passo 8

d) Agora chegou o momento de usarmos tudo o que a gente achou para esboçar esse gráfico.

E ele pede também para marcar as abscissas dos pontos de máximo e mínimo. Esses são os pontos críticos da nossa função. Pontos onde a derivada zera. Vimos que ela zera em:

x = 0 ,     x = 2

Vamos marcar eles!

Aí respeitando os intervalos de crescimente e decrescimento que a gente achou, e colocando só uma assíntota na direita em y = 0 , nosso gráfico fica assim:

Resposta

a) y = 0 , só há uma assíntota para a direita

b) não há há assíntotas oblíquas

c) Intervalos de decrescimento: - ∞ , 0 ,   2 , ∞

Intervalo de crescimento: 0,2

d)

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