Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Para a seguinte função:

x 2 x + 1 2

Encontre as assíntotas inclinadas e esboce o gráfico, e para isso:

  1. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
  2. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
  4. Encontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas;
  5. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores

Passo 1

Fala aí, amigão! O enunciado é longo, mas tudo isso vai nos ajudar a completar o nosso gráfico final. Então mãos à obra!

Nossa função é:

f x = x 2 x + 1 2

Nosso primeiro passo é encontrar os intervalos para os quais essa função é crescente e quais ela é decrescente.

Então vamos usar a Regra da Primeira Derivada!

Então vamos derivar essa função f ( x ) , como você deve ter percebido, temos uma fração entre duas expressões, então vamos usar a regra do quociente aqui:

f x = g x h ( x ) → f ' x = g ' x ⋅ h x - g x ⋅ h ' x h x 2

Aplicando no nosso caso:

f ' x = x 2 ' ⋅ x + 1 2 - x 2 ⋅ [ x + 1 2 ] ' [ x + 1 2 ] 2

f ' x = 2 x ⋅ x + 1 2 - [ x 2 ⋅ 2 ⋅ x + 1 ⋅ 1 ] x + 1 4

f ' x = 2 x ⋅ x 2 + 2 x + 1 - ( 2 x 3 + 2 x 2 ) x + 1 4

f ' x = 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x - ( 2 x 3 + 2 x 2 ) x + 1 4

f ' x = 2 x 2 + 2 x x + 1 4

Logo a primeira derivada pode ser reescrita como:

f ' x = 2 x x + 1 x + 1 4 = 2 x x + 1 3

Agora precisamos encontrar quais valores onde nossa primeira derivada é igual a zero!

f ' x = 2 x x + 1 3 = 0

Então:

x = 0

Por outro lado, o valor do denominador muda de sinal de acordo com o denominador, então devemos incluir o valor da raiz do denominador também:

x + 1 = 0

x = - 1

Vamos colocar esses valores no quadro de sinais:

Agora analisando os valores que cada parcela assume dentro dos intervalos, temos que a função ( 2 x ) assume os seguintes sinais:

Enquanto a função x + 1 3 só assume valores negativos para valores de x menores do que - 1 :

Dividindo essas parcelas, podemos concluir sobre o sinal que a derivada da função f ( x ) assume em cada um dos intervalos é:

E o que sabemos através da Regra da Primeira Derivada:

  • Se f ' x > 0 , então f ( x ) é crescente nesse intervalo;
  • Se f ' x < 0 , então f x é decrescente nesse intervalo.

Então, através do nosso quadro de sinais chegamos a resposta do primeiro item:

f x é crescente no intervalo: - ∞ , - 1 ∪ 0 ; + ∞

f x é decrescente no intervalo: - 1,0

Passo 2

Já achamos a primeira resposta, hora de olha para o segundo pedido de nossa questão, na letra “b”, o enunciado nos diz para encontrar os valores de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar um pouco do que já construímos no item anterior!

Quando ocorre o ponto de máximo ou ponto de mínimo? Bom, isso ocorre quando a derivada primeira de uma função é igual a zero!

P o n t o   d e   M á x i m o   o u   P o n t o   d e   M í n i m o : f ' x = 0

No último passo, descobrimos que isso ocorre quando:

x 1 = 0

Como sabemos que a função é decrescente de - 1 até 0 e depois ela começa a crescer, então:

x = 0     é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

E você pode me perguntar, o porquê de não considerarmos o ponto x = - 1 como máximo ou mínimo. Isso acontece, porque esse ponto não faz parte do domínio de nossa função, ou seja, na função original:

f x = x 2 x + 1 2

Nunca o valor de x = - 1 pode ocorrer!

Passo 3

Na letra “c”, o enunciado nos pede para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade que a função assume. E como começamos isso? Teste da Segunda Derivada!

Se a nossa primeira derivada vale:

f ' x = 2 x x + 1 3

Para encontrar a segunda derivada, vamos usar a Regra do Quociente:

f ' ' x = 2 x ' ⋅ x + 1 3 - 2 x ⋅ x + 1 3 ' x + 1 3 2

f ' ' x = ( x ) ⋅ x + 1 3 - 2 x ⋅ ( 3 ⋅ x + 1 2 ⋅ 1 ) x + 1 6

f ' ' x = x ⋅ x + 1 3 - 2 x ⋅ 3 ⋅ x + 1 2 ⋅ 1 x + 1 6

f ' ' x = x ⋅ x + 1 ⋅ x + 1 2 - 6 x ⋅ x + 1 2 x + 1 6

f ' ' x = x 2 + x ⋅ x + 1 2 - 6 x ⋅ x + 1 2 x + 1 6

Colocando em evidência:

f ' ' x = x 2 + x - 6 x ⋅ x + 1 2 x + 1 6 = x 2 - 5 x x + 1 4

Por fim chegamos a:

f ' ' x = x ( x - 5 ) x + 1 4

Pela Regra da Segunda Derivada, temos:

  • Se f ' ' x > 0 , então f ( x ) tem concavidade para cima nesse intervalo;
  • Se f ' ' x < 0 , então f x tem concavidade para baixo nesse intervalo.
  • E como vamos avaliar esse sinal? Bom o denominador é sempre positivo, porque ele está elevado a quarta potência.

    Por outro lado, o numerador apresenta duas possibilidades:

    x x - 5 = 0

    x 1 = 0

    x 2 - 5 = 0 → x 2 = 5

    Vamos fazer um quadrinho de sinais para isso:

    Analisando a expressão de x , ela assume os seguintes valores:

    Agora, os valores da expressão ( x - 5 ) apenas assume valores negativos, para valores de x menores que   5 :

    Por último, os sinais do denominador sempre serão positivos:

    Então a segunda derivada da função assume os sinais:

    E segundo as regras de concavidade de acordo com o sinal da segunda derivada da função, temos:

    C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a : - ∞ , 0 ∪ 5 , + ∞

    C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o : ( 0,5 )

    P o n t o s   d e   I n f l e x ã o : x = 0   e   x = 5

    Passo 4

    A letra “d” é: Encontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas.

    Começando pela assíntota horizontal:

    lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 1 2  

    Se substituirmos o valor de x = + ∞ , teremos a indeterminação ∞ / ∞ , logo aplicamos a Regra de L’Hospital:

    lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 1 2 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x + 1

    Continuamos ter uma indeterminação de ∞ / ∞ , então vamos aplicar L’Hospital novamente:

    lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 1 2 = lim x → + ∞ ⁡ 2 2 ⋅ 1 = 1

    Achamos nossa primeira Assíntota Horizontal!

    Agora para o outro lado:

    lim x → - ∞ ⁡ x 2 x + 1 2

    Nesse caso, temos a indeterminação ∞ / ∞ , vamos aplicar L’Hospital novamente:

    lim x → - ∞ ⁡ x 2 x + 1 2 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 x + 1

    Caímos na mesma indeterminação, logo, vamos aplicar L’Hospital novamente:

    lim x → - ∞ ⁡ x 2 x + 1 2 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 x + 1 = lim x → - ∞ ⁡ 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 = 1

    Logo, temos uma assíntota horizontal só:

    y = 1

    Partindo para assíntotas verticais, vamos ver onde temos uma descontinuidade! No caso da nossa função:

    f x = x 2 x + 1 2

    Você percebe que um número que não faz parte do domínio da função é o número x = - 1 , porque isso iria zerar o denominador e isso não pode acontecer!

    Logo a assíntota vertical é:

    lim x → - 1 + ⁡ x 2 x + 1 2 = + ∞

    lim x → - 1 - ⁡ x 2 x + 1 2 = + ∞

    Dessa forma, existe a assíntota vertical:

    x = - 1

    Como existem assíntotas horizontais, não pode existir nenhuma assíntota horizontal! Então finalizamos esse item e vamos para o próximo!

    Passo 5

    E por último, vamos esboçar esse gráfico, nos baseando em todas as informações que nós levantamos anteriormente.

  • Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
  • Pontos de Mínimo:
  • x = 0

    Substituindo na função:

    f x = x 2 x + 1 2 → f 0 = 0 2 0 + 1 2 = 0 1 2 = 0

  • Concavidade:
  • Assíntota horizontal:
  • Assíntota vertical:

Vamos completar os pontos que faltam, começando por calcular a a função para x = 5 :

f 5 = 5 2 5 + 1 2 = 25 36 = 0,694

Vamos marcar esse ponto no nosso gráfico:

Resposta

  1. f x é crescente no intervalo: - ∞ , - 1 ∪ 0 ; + ∞

    f x é decrescente no intervalo: - 1,0

  2. x = 0     é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

  3. C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a : - ∞ , 0 ∪ 5 , + ∞

    C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o : ( 0,5 )

    P o n t o s   d e   I n f l e x ã o : x = 0   e   x = 5

  4. A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l :   y = 1

    A s s í n t o t a   v e r t i c a l :   x = - 1

    A s s í n t o t a   i n c l i n a d a : N ã o   t e m

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