Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Seja

f x = x ln ⁡ 2 - 1 x .

a) Determine o domínio da função f .

b) Determine as equações das retas assíntotas verticais do gráfico de f , caso existam.

c) Mostre que a reta y = ln ⁡ 2 x - 1 2 é assíntota oblíqua de f para a direita (ou seja, quando x → + ∞ ) .

d) Sabendo que f é crescente em todo o seu domínio e que a reta y = ln ⁡ 2 x - 1 2 é assíntota oblíqua do gráfico de f para os dois lados (ou seja, quando x → + ∞ e x → - ∞ ). Esboce abaixo o gráfico de f e suas assíntotas verticais, caso existam.

Passo 1

E aí? Pronta para arrasar nessa questão? Vemo comigo!

Ele pede para determinar o domínio dessa função. Quando a gente vai analisar o domínio, precisamos nos atentar a essas restrições:

d e n o m i n a d o r   ≠ 0 ,     a r g u m e n t o   d a   r a i z   p a r ≥ 0 ,     a r g u m e n t o   d o   l o g > 0

E vê se a nossa função tem qualquer uma dessas características, tá bem? Olha, nossa função

f x = x ln ⁡ 2 - 1 x

Ela tem um denominador: cara percebe que ali no termo 1 / x , temos um denominador, ele precisa ser diferente de zero, então a gente escreve:

x ≠ 0

Passo 2

Repara também, que ela tem um log. A gente precisa que esse argumento dele seja estritamente positivo:

2 - 1 x > 0 ∴ 2 x - 1 x > 0

Como a gente tem uma fração, vamos precisar estudar o sinal dela para saber em que intervalos ela vai ser positiva.

- 2 x - 1 : Esse termo zera em

2 x - 1 = 0 ∴ x = 1 2

Antes desse ponto ele é negativo e depois é positivo.

- x : Esse termo zera em x = 0 mesmo, antes desse ponto ele é negativo, e depois postivo.

Agora a gente faz a tabelinha para comparar os sinais:

Como nos intervalo - ∞ , 0 e 1 2 , ∞ , os sinais de 2 x - 1 e x são iguais, o sinal da divisão entre eles, ou seja, o sinal de 2 x - 1 x vai ser positivo nesses intervalos. Logo, eles são a solução da nossa restrição.

Do outro passo a gente viu que x ≠ 0 , e isso também aparece aqui já que - ∞ , 0 é aberto em zero, então nosso domínio fica sendo esses dois intervalos que a gente achou aqui:

D = - ∞ , 0 ∪ 1 2 ,   ∞

Passo 3

b) Para achar as assíntotas verticais de

f x = x ln ⁡ 2 - 1 x

A gente vai calcular os limites laterais nas bordas do seu domínio, aí se explodir para infinito, temos assíntota.

Mas como assim, as bordas? A constantes que limitam o nosso domínio. A gente viu que x = 0 limita um intervalo pela direita, então a borda que está dentro nosso domínio é

x → 0 -

São valores bem próximos de 0 , mas dentro do nosso domínio.

Vimos também que x = 1 / 2 limita nosso domínio pela esquerda. O valores de x perto de 1 / 2 e dentro do nosso domínio são:

x → 1 2 +

Bora!

Passo 4

Calculando esses limites:

lim x → 0 - ⁡ x ln ⁡ 2 - 1 x = lim x → 0 - ⁡ ln ⁡ 2 - 1 x x - 1 = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 - x - 1 x - 1 → ∞ - ∞

Como dá esse tipo de indeterminação, podemos usar L’Hospital. Repara que a gente vai usar a regra da cadeia:

L ' H → lim x → 0 - ⁡ ln ⁡ 2 - x - 1 ' x - 1 ' = lim x → 0 - ⁡ - - x - 2 ⋅ 1 2 - 1 x - x - 2 = - 1 2 - 1 x = 0

Já que deu uma constante, não temos assíntota vertical aí, mas nosso gráfico vai tender ao ponto ( 0,0 ) pela esquerda.

lim x → 1 2 + ⁡ x ln ⁡ 2 - 1 x = lim x → 1 2 + ⁡ ln ⁡ 2 - 1 x x - 1 → - ∞ 2 → - ∞

Logo, como explodiu para menos infinito, temos que y = 1 / 2 é uma assíntota vertical do nosso gráfico.

Passo 5

c) Precisamos mostrar que a reta y = ln ⁡ 2 x - 1 2 é assíntota oblíqua de f para a direita (ou seja, quando x → + ∞ ) .

Para fazer isso, vamos tentar montar a equação da reta da assíntota oblíqua de f para a direita. Essa equação tem essa cara:

y = m x + b

Onde:

m = lim x → ∞ ⁡ f x x ,     b = lim x → ∞ ⁡ f x - m x

Repara que x → ∞ , já que estamos olhando para a direita do gráfico. Bora lá!

Passo 6

Temos

f x = x ln ⁡ 2 - 1 x

A gente sempre começa calculando m :

m = lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - 1 x x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - 1 x = ln ⁡ 2

Agora vamos achar b :

b = lim x → ∞ ⁡ f x - m x = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - 1 x - x ln ⁡ 2 → ∞ - ∞

Deu uma ideterminação, vamos tentar reescrever isso aí:

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 2 - 1 x - ln ⁡ 2 → ∞ ⋅ 0

A gente pode mexer nisso para dar uma inteterminação do tipo 0 / 0 , e com isso poder usar L’Hospital

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - 1 x - ln ⁡ 2 1 / x → L ' H → lim x → ∞ ⁡ - 1 - x - 2 1 2 - 1 x - x - 2 = lim x → ∞ ⁡ - 1 2 - 1 x = - 1 2

Aí a nossa reta ficou

y = ln ⁡ 2 x - 1 2

Como tínhamos que mostrar!

Passo 7

d) Agora é esboçar o gráfico. Ele diz que f é sempre crescente, mas ela só está definida em - ∞ , 0 ∪ 1 2 ,   ∞ .

A gente tem a assíntota oblíqua para a direita em y = ln ⁡ 2 x - 1 2   e temos a assíntota vertical em x = 1 2 .

Esboçando f com essas características e a reta y = ln ⁡ 2 x - 1 2 , temos esse gráfico lindão:

Resposta

a) D = - ∞ , 0 ∪ 1 2 ,   ∞  

b) Só há um assíntota vertical, em x = 1 2

c) Demonstração nos passos 5 e 6

d)

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