Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Para a próxima função:

- 1 e x + 1

  1. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
  2. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
  4. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
  5. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

Fala aí, amigão! Temos um passo a passo que vai nos ajudar a construir no final o nosso gráfico, beleza? Então mãos a obra!

Nossa função é:

f x = - 1 e x + 1 = - e x + 1 - 1

Nosso primeiro passo é encontrar os intervalos para os quais essa função é crescente e quais ela é decrescente. E como fazemos isso? Se você respondeu Regra da Primeira Derivada, você ACERTOU!

Então vamos derivar essa função f ( x ) :

f ' x = - 1 ⋅ - 1 ⋅ e x + 1 - 2 ⋅ ( e x )

Logo a primeira derivada pode ser reescrita como:

f ' x = e x e x + 1 2

Agora precisamos encontrar quais valores onde nossa primeira derivada é igual a zero! Você pode perceber que esse valor não existe independentemente do valor de x ! Logo, não temos ponto de mínimo nem de máximo!

Além disso, vamos encontrar o valor para o qual a primeira derivada não existe. Olhando a nossa primeira derivada:

f ' x = e x e x + 1 2

Ela não existe, caso o denominador seja igual a zero, mas o denominador é sempre maior que zero:

e x + 1 > 0

Como tanto o numerador quanto o denominador são maiores que zero, então, nossa primeira derivada é sempre positiva!

E o que sabemos através da Regra da Primeira Derivada:

  • Se f ' x > 0 , então f ( x ) é crescente nesse intervalo;
  • Se f ' x < 0 , então f x é decrescente nesse intervalo.

Como a primeira derivada é sempre maior que zero, então a função é sempre crescente!

f x é crescente no intervalo: - ∞ , + ∞

Passo 2

Já achamos a primeira resposta, hora de olha para o segundo pedido de nossa questão, na letra “b”, o enunciado nos diz para encontrar os valores de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar um pouco do que já construímos no item anterior!

Quando ocorre o ponto de máximo ou ponto de mínimo? Bom, isso ocorre quando a derivada primeira de uma função é igual a zero!

P o n t o   d e   M á x i m o   o u   P o n t o   d e   M í n i m o : f ' x = 0

No último passo, descobrimos que isso não ocorre em nenhum ponto dentro do domínio da função, logo, não existe ponto de máximo ou de mínimo local!

Passo 3

Na letra “c”, o enunciado nos pede para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade que a função assume. E como começamos isso? Teste da Segunda Derivada!

Se a nossa primeira derivada vale:

f ' x = e x e x + 1 2

Para encontrar a segunda derivada, vamos usar a Regra do Quociente:

f ' x = g x h x → f ' ' x = g ' x ⋅ h x - g x ⋅ h ' x h 2 ( x )

f ' ' x = ( e x ) ' ⋅ e x + 1 2 - ( e x ) ⋅ e x + 1 2 ' e x + 1 2 2

f ' ' x = ( e x ) ⋅ e x + 1 2 - ( e x ) ⋅ 2 ⋅ e x + 1 ⋅ ( e x ) e x + 1 4

Reescrevendo os produtos:

f ' ' x = e x ⋅ e 2 x + 2 e x + 1 - e x ⋅ 2 e x + 2 ⋅ e x e x + 1 4

f ' ' x = e x ⋅ e 2 x + 2 e x + 1 - e x ⋅ 2 e 2 x + 2 e x e x + 1 4

Colocando e x em evidência:

f ' ' x = ( e x ) ⋅ ( e 2 x + 2 e x + 1 - 2 e 2 x - 2 e x ) e x + 1 4

f ' ' x = ( e x ) ⋅ ( 1 - e 2 x ) e x + 1 4

Temos a diferença entre dois quadrados, então podemos reescrever a partir do produto notável:

f ' ' x = e x ⋅ 1 - e x ⋅ ( 1 + e x ) e x + 1 4 = e x ⋅ 1 - e x e x + 1 3

Pela Regra da Segunda Derivada, temos:

  • Se f ' ' x > 0 , então f ( x ) tem concavidade para cima nesse intervalo;
  • Se f ' ' x < 0 , então f x tem concavidade para baixo nesse intervalo.
  • O numerador é igual a zero quando:

    e x ⋅ 1 - e x = 0

    Como e x é sempre positivo, logo a única forma desse numerador ser igual a zero é se:

    1 - e x = 0 → e x = 1

    Isso ocorre se:

    x = 0

    Vamos montar um quadrinho de sinais:

    A função e x sempre assume valores positivos para qualquer valor de x :

    0 < e x

    A função e x é maior que 1 , quando x > 0 . Dessa forma:

    S e   x > 0 → e x > 1

    S e   x < 0 → 0 < e x < 1

    Dessa forma, para valores de x maiores que 0 , então a função ( 1 - e x ) assume valores negativos:

    S e   x > 0 → 1 - e x < 0

    Para valores de x menores que 0 , a função assume valores positivos:

    S e   x < 0 → 1 - 0 > 1 - e x > 1 - 1

    1 > 1 - e x > 0

    Por outro lado, se a função ( e x + 1 ) é maior que zero, o denominador e x + 1 3 é sempre positivo:

    Dessa forma, realizando o produto entre os elementos do numerador e dividindo pelo elemento do denominador, a segunda derivada terá como sinal:

    Como já falamos sobre as regras da segunda derivada, as concavidades serão determinadas pelo sinal de cada intervalo:

    C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a : - ∞ , 0 ,

    C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o : ( 0 , + ∞ )

    Ponto de inflexão: x = 0

    Passo 4

    A letra “d” é: Encontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas.

    Começando pela assíntota horizontal:

    lim x → + ∞ ⁡ - 1 e x + 1

    Se substituirmos o valor de x → + ∞ :

    lim x → + ∞ ⁡ - 1 e x + 1 = - 1 ∞ + 1 = 0

    ln ⁡ 0 n ã o   e x i s t e !

    Encontramos uma assíntota horizontal!

    Partindo para o outro lado x → - ∞ :

    lim x → - ∞ ⁡ - 1 e x + 1 = - 1 1 e ∞ + 1 = - 1 0 + 1 = - 1

    Temos outra assíntota horizontal!

    Partindo para assíntotas verticais, vamos ver onde temos uma descontinuidade! No caso da nossa função:

    f x = - 1 e x + 1

    Como já falamos que a função e x + 1 é sempre maior do que zero:

    e x + 1 > 0

    Logo, não temos descontinuidade dessa função e portanto, não existe assíntota vertical!

    Como existem assíntotas horizontais, sabemos quem não existem assíntotas inclinadas, também chamadas de assíntotas oblíquas.

    Passo 5

    E por último, vamos esboçar esse gráfico, nos baseando em todas as informações que nós levantamos anteriormente.

  • Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
  • f x é crescente no intervalo: - ∞ , + ∞

  • Pontos de Mínimo:
  • N ã o   e x i s t e

  • Concavidade:
  • C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a : - ∞ , 0 ,

    C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o : ( 0 , + ∞ )

    Ponto de inflexão: x = 0

    Vamos marcar o ponto de inflexão:

    f x = - 1 e x + 1 → f 0 = - 1 e 0 + 1

    f 0 = - 1 1 + 1 = - 1 2

  • Assíntotas Horizontais:

x → + ∞ ,   e n t ã o   y = 0 x → - ∞ ,   e n t ã o   y = - 1

Ligando os pontos:

Resposta

  1. f x é crescente no intervalo: - ∞ , + ∞

  2. N ã o   e x i s t e m   p o n t o s   d e   m í n i m o   e   n e m   d e   m á x i m o   l o c a i s

  3. C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a : - ∞ , 0 ,

    C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o : ( 0 , + ∞ )

    Ponto de inflexão: x = 0

  4. Assíntotas Horizontais:

    x → + ∞ ,   e n t ã o   y = 0 x → - ∞ ,   e n t ã o   y = - 1

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