Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Para a seguinte função:

x 2 x + 1

Encontre as assíntotas inclinadas e esboce o gráfico, e para isso:

  1. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
  2. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
  4. Encontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas;
  5. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores

Passo 1

Fala aí, amigão! Temos um passo a passo que vai nos ajudar a construir no final o nosso gráfico, beleza? Então mãos a obra!

Nossa função é:

f x = x 2 x + 1

Nosso primeiro passo é encontrar os intervalos para os quais essa função é crescente e quais ela é decrescente. E como fazemos isso? Se você respondeu Regra da Primeira Derivada, você ACERTOU!

Então vamos derivar essa função f ( x ) , como você deve ter percebido, temos uma fração entre duas expressões, então vamos usar a regra do quociente aqui:

f x = g x h ( x ) → f ' x = g ' x ⋅ h x - g x ⋅ h ' x h x 2

Aplicando no nosso caso:

f ' x = x 2 ' ⋅ x + 1 - x 2 ⋅ x + 1 ' x + 1 2

f ' x = 2 x ⋅ x + 1 - x 2 ⋅ 1 x + 1 2

f ' x = 2 x 2 + 2 x - x 2 x + 1 2

f ' x = x 2 + 2 x x + 1 2

Logo a primeira derivada pode ser reescrita como:

f ' x = x x + 2 x + 1 2

Agora precisamos encontrar quais valores onde nossa primeira derivada é igual a zero!

f ' x = x x + 2 x + 1 2 = 0

Então:

x x + 2 = 0

Temos duas opções para tornar essa igualdade verdadeira:

x 1 = 0

x 2 + 2 = 0 → x 2 = - 2

Vamos colocar esses valores no quadro de sinais:

Agora analisando os valores que cada parcela assume dentro dos intervalos, temos que a função x assume os seguintes sinais:

Enquanto a função ( x + 2 ) só assume valores negativos para valores de x menores do que - 2 :

Como a função que está presente no denominador está elevado ao quadrado, então ela é sempre positiva independentemente do valor de x :

Multiplicando e dividindo essas parcelas, podemos concluir sobre o sinal que a derivada da função f ( x ) assume em cada um dos intervalos é:

E o que sabemos através da Regra da Primeira Derivada:

  • Se f ' x > 0 , então f ( x ) é crescente nesse intervalo;
  • Se f ' x < 0 , então f x é decrescente nesse intervalo.

Então, através do nosso quadro de sinais chegamos a resposta do primeiro item:

f x é crescente no intervalo: - ∞ , - 2 ∪ 0 ; + ∞

f x é crescente no intervalo: - 2 , 0

Passo 2

Já achamos a primeira resposta, hora de olha para o segundo pedido de nossa questão, na letra “b”, o enunciado nos diz para encontrar os valores de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar um pouco do que já construímos no item anterior!

Quando ocorre o ponto de máximo ou ponto de mínimo? Bom, isso ocorre quando a derivada primeira de uma função é igual a zero!

P o n t o   d e   M á x i m o   o u   P o n t o   d e   M í n i m o : f ' x = 0

No último passo, descobrimos que isso ocorre quando:

x 1 = - 2   o u   x 2 = 0

Como sabemos que a função é crescente de - ∞ até - 2 e depois ela começa a decrescer, então:

x = - 2     é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

Enquanto por outro lado, se a função é decrescente de - 2 até 0 e depois ela retorna a crescer até o final + ∞ , logo:

x = 0   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

Essa é a nossa resposta sobre quem são os pontos de máximo e mínimo locais!

Passo 3

Na letra “c”, o enunciado nos pede para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade que a função assume. E como começamos isso? Teste da Segunda Derivada!

Se a nossa primeira derivada vale:

f ' x = x x + 2 x + 1 2 = x 2 + 2 x x + 1 2

Para encontrar a segunda derivada, vamos usar a Regra do Quociente:

f ' ' x = x 2 + 2 x ' ⋅ x + 1 2 - x 2 + 2 x ⋅ x + 1 2 ' x + 1 2 2

f ' ' x = ( 2 x + 2 ) ⋅ x + 1 2 - x 2 + 2 x ⋅ ( 2 ⋅ x + 1 ⋅ 1 ) x + 1 4

f ' ' x = ( 2 x + 2 ) ⋅ x 2 + 2 x + 1 - x 2 + 2 x ⋅ ( 2 x + 2 ) x + 1 4

f ' ' x = 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 2 x 2 + 4 x + 2 - 2 x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 + 4 x x + 1 4

Subtraindo uma expressão da outra no numerador:

f ' ' x = 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 2 x 2 + 4 x + 2 - 2 x 3 - 2 x 2 - 4 x 2 - 4 x x + 1 4

f ' ' x = 2 x + 2 x + 1 4 = 2 x + 1 x + 1 4

Por fim chegamos a:

f ' ' x = 2 x + 1 3

Pela Regra da Segunda Derivada, temos:

  • Se f ' ' x > 0 , então f ( x ) tem concavidade para cima nesse intervalo;
  • Se f ' ' x < 0 , então f x tem concavidade para baixo nesse intervalo.
  • E como vamos avaliar esse sinal? Bom o numerador é sempre positivo e igual a dois, então quem vai definir o sinal é o sinal do denominador:

    x + 1 = 0

    x = - 1

  • Se x > - 1 :
  • x + 1 3 > 0

    Logo, teremos o sinal da segunda derivada também é positivo:

    f ' ' x > 0

    Então a concavidade no intervalo ( - ∞ , - 1 ) é para cima!

  • Se x < - 1 :
  • x + 1 3 < 0

    Logo, teremos o sinal da segunda derivada também é negativo:

    f ' ' x < 0

    Então a concavidade no intervalo ( - 1 , + ∞ ) é para baixo!

    E o ponto de inflexão? Bom como a derivada segunda nunca é igual a zero:

    f ' ' x = 2 x + 1 3 ≠ 0

    Então esse ponto de inflexão não existe!

    Passo 4

    A letra “d” é: Encontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas.

    Começando pela assíntota horizontal:

    lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 1

    Se substituirmos o valor de x = + ∞ , teremos a indeterminação ∞ / ∞ , logo aplicamos a Regra de L’Hospital:

    lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 1 = + ∞

    Agora para o outro lado:

    lim x → - ∞ ⁡ x 2 x + 1

    Nesse caso, temos a indeterminação + ∞ / - ∞ , vamos aplicar L’Hospital novamente:

    lim x → - ∞ ⁡ x 2 x + 1 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 1 = - ∞

    Dessa forma, não existem assíntotas horizontais!

    Partindo para assíntotas verticais, vamos ver onde temos uma descontinuidade! No caso da nossa função:

    f x = x 2 x + 1

    Você percebe que um número que não faz parte do domínio da função é o número x = - 1 , porque isso iria zerar o denominador e isso não pode acontecer!

    Logo a assíntota vertical é:

    lim x → - 1 + ⁡ x 2 x + 1 = + ∞

    lim x → - 1 - ⁡ x 2 x + 1 = - ∞

    Dessa forma, existe a assíntota vertical:

    x = - 1

    Como já falamos que não existem assíntotas horizontais, teremos que testar se existem assíntotas inclinadas, também chamadas de assíntotas oblíquas. Vamos começar testando para x → - ∞ :

    O coeficiente m é calculado como:

    m = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) x

    Substituindo a nossa função:

    m = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x + 1 x

    Podemos então realizar uma simplificação:

    m = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x + 1 ⋅ 1 x = lim x → - ∞ ⁡ x x + 1

    Concorda comigo que isso é uma indeterminação do tipo - ∞ / - ∞ , então vamos aplicar L’Hospital:

    m = lim x → - ∞ ⁡ x x + 1 = lim x → - ∞ ⁡ 1 1 + 1 = 1

    E calculando o coeficiente n :

    n = l i m x → - ∞ [ f x - m x ]

    Substituindo nossos valores:

    n = l i m x → - ∞ x 2 x + 1 - x = l i m x → - ∞ x 2 - x 2 - x x + 1

    n = l i m x → - ∞ - x x + 1

    Caímos na mesma indeterminação + ∞ / - ∞ , então vamos aplicar L’Hospital:

    n = l i m x → - ∞ - x x + 1 = l i m x → - ∞ - 1 1 = - 1

    Então agora está na hora de aplicar esses valores na função da assíntota oblíqua:

    y = m x + n

    Então, temos a seguinte assíntota oblíqua pro lado de - ∞ :

    y = x - 1

    Vamos aplicar o mesmo passo a passo para o lado de x → + ∞ :

    Calculando o coeficiente m :

    m = lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) x

    Substituindo a nossa função:

    m = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 1 x

    Podemos então realizar uma simplificação:

    m = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x + 1 ⋅ 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x x + 1

    Concorda comigo que isso é uma indeterminação do tipo + ∞ / + ∞ , então vamos aplicar L’Hospital:

    m = lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 = 1

    E calculando o coeficiente n :

    n = l i m x → + ∞ [ f x - m x ]

    Substituindo nossos valores:

    n = l i m x → + ∞ x 2 x + 1 - x = l i m x → + ∞ x 2 - x 2 - x x + 1

    n = l i m x → + ∞ - x x + 1

    Caímos na mesma indeterminação - ∞ / + ∞ , então vamos aplicar L’Hospital:

    n = l i m x → + ∞ - x x + 1 = l i m x → + ∞ - 1 1 = - 1

    Então agora está na hora de aplicar esses valores na função da assíntota oblíqua:

    y = m x + n

    Então, temos a seguinte assíntota oblíqua pro lado de + ∞ :

    y = x - 1

    Passo 5

    E por último, vamos esboçar esse gráfico, nos baseando em todas as informações que nós levantamos anteriormente.

  • Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
  • Pontos de Máximo:
  • x = - 2

    Substituindo na função:

    f x = x 2 x + 1 → f - 2 = - 2 2 - 2 + 1 = 4 - 1 = - 4

  • Pontos de Mínimo:
  • x = 0

    Substituindo na função:

    f x = x 2 x + 1 → f 0 = 0 2 0 + 1 = 0 1 = 0

  • Concavidade:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota Oblíqua:

Resposta

  1. f x é crescente no intervalo: - ∞ , - 2 ∪ 0 ; + ∞

    f x é crescente no intervalo: - 2,0

  2. x = - 2     é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

    x = 0   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

  3. A concavidade no intervalo ( - ∞ , - 1 ) é para cima.

    A concavidade no intervalo ( - 1 , + ∞ ) é para baixo.

    Não tem pontos de inflexão

  4. Não existem assíntotas horizontais

    Assíntota vertical: x = - 1

    Assíntota inclinada: y = x - 1

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