Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Para a próxima função:

x ⋅ t g x   ,   - π 2 < x < π 2

  1. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
  2. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
  4. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
  5. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

Galerinha, essa é mais uma questão de montar gráfico e para chegar nesse final triunfante, iremos passar por cada um dos itens que ele nos pede no enunciado. Então vamos começar pela função:

f x = x ⋅ t g x

Sobre o crescimento e decrescimento, como fazemos isso? Regra da Primeira Derivada!

Então vamos derivar essa função f ( x ) utilizando a Regra do Produto:

f x = g x ⋅ h x → f ' x = g ' x ⋅ h x + [ g x ⋅ h ' x ]

f ' x = ( x ) ' ⋅ ( t g ( x ) ) + [ x ⋅ ( t g ( x ) ) ' ]

Fazendo essas derivadas dentro da nossa expressão:

f ' x = 1 ⋅ ( t g ( x ) ) + [ x ⋅ sec 2 ⁡ ( x ) ]

Logo a primeira derivada pode ser reescrita como:

f ' x = t g x + x ⋅ sec 2 ⁡ x

Agora precisamos encontrar quais valores onde nossa primeira derivada é igual a zero dentro do nosso intervalo! Vamos relembrar nosso intervalo:

- π 2 < x < π 2

Para isso, o numerador deveria ser igual a zero:

t g x + x ⋅ sec 2 ⁡ x = 0

Temos que ter duas parcelas iguais a zero, tanto a tangente:

t g x = 0

Quanto o produto:

x ⋅ sec 2 ⁡ x = 0

A tangente é igual a zero em dois pontos:

x 1 = π

x 2 = 0

Como nosso intervalo é: - π 2 < x < π 2

Então a única opção é:

x 2 = 0

E isso faz o produto também ser igual a zero:

x ⋅ sec 2 ⁡ x = 0 → 0 ⋅ sec 2 ⁡ 0 = 0

Então nossa derivada será:

f ' x = t g x + x ⋅ sec 2 ⁡ x → f ' 0 = t g 0 + 0 ⋅ sec 2 ⁡ 0 = 0

Vamos colocar todos os elementos em nosso quadro de sinais:

A tangente assumirá valores positivos para o intervalo de 0 < x < π / 2 , enquanto assume valores negativos para o intervalo - π 2 < x < 0 :

Por outro lado, o valor da secante elevado ao quadrado sempre será positivo, exatamente por estar elevado ao quadrado:

Enquanto a expressão de x assume o sinal positivo caso esteja acima do valor zero e assume sinal negativo caso, o intervalo seja inferior a zero:

Dessa forma, o produto entre os fatores do numerador e a divisão deste pelo denominador resulta nos sinais da primeira derivada nos intervalos:

E o que sabemos através da Regra da Primeira Derivada:

  • Se f ' x > 0 , então f ( x ) é crescente nesse intervalo;
  • Se f ' x < 0 , então f x é decrescente nesse intervalo.

Baseado nessa regra, podemos assumir que a função f ( x ) terá o seguinte comportamento:

f x é crescente no intervalo: ( 0 ,   + π / 2 )

f x é decrescente no intervalo: - π / 2 ,     0

Passo 2

Já achamos a primeira resposta, hora de olha para o segundo pedido de nossa questão, na letra “b”, o enunciado nos diz para encontrar os valores de máximo e mínimo locais. Para isso, vamos usar um pouco do que já construímos no item anterior!

Quando ocorre o ponto de máximo ou ponto de mínimo? Bom, isso ocorre quando a derivada primeira de uma função é igual a zero!

P o n t o   d e   M á x i m o   o u   P o n t o   d e   M í n i m o : f ' x = 0

No último passo, descobrimos que isso ocorre nos pontos:

x = 0

Analisando que antes de x = 0 temos um decrescimento e após esse ponto a função começa a crescer, então:

x = 0   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

Passo 3

Na letra “c”, o enunciado nos pede para encontrar os pontos de inflexão e a concavidade que a função assume. E como começamos isso? Teste da Segunda Derivada!

Se a nossa primeira derivada vale:

f ' x = t g x + x ⋅ sec 2 ⁡ x

Para encontrar a segunda derivada, vamos separar em duas derivadas:

t g x ' = sec 2 ⁡ x

Nossa segunda parte é:

x ⋅ s e c 2 x = x ' ⋅ sec 2 ⁡ x + x ⋅ sec 2 ⁡ x '

Resolvendo essa Regra do Produto:

x ⋅ s e c 2 x = sec 2 ⁡ x + 2 x ⋅ sec 2 ⁡ x ⋅ t g ⁡ ( x )

Vamos voltar a nossa Segunda Derivada:

f ' ' x = t g x + x ⋅ sec 2 ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x + 2 x ⋅ sec 2 ⁡ x ⋅ t g ⁡ ( x )

Podemos então simplificar da forma:

f ' ' x = 2 ⋅ sec 2 ⁡ x + 2 x ⋅ sec 2 ⁡ x ⋅ t g ⁡ ( x )

Colocando 2 ⋅ sec 2 ⁡ x em evidência:

f ' ' x = 2 ⋅ sec 2 ⁡ x ⋅ ( 1 + x tg ⁡ x )

Olha, pessoal, nos baseando no quadrinho do primeiro passo, nós sabemos que o produto:

x ⋅ t g ( x )

É sempre maior que zero em nosso intervalo - π / 2 < 0 < π / 2 . E como sabemos que a secante elevada ao quadrado é sempre maior que zero, então TODA a nossa segunda derivada é maior que zero!

f ' ' x > 0

Pela Regra da Segunda Derivada, temos:

  • Se f ' ' x > 0 , então f ( x ) tem concavidade para cima nesse intervalo;
  • Se f ' ' x < 0 , então f x tem concavidade para baixo nesse intervalo.
  • Logo em todo o nosso intervalo, a concavidade da função é para cima!

    C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a : - π 2 , + π 2

    Não existem pontos de inflexão! Pois percebemos que em nenhum ponto a segunda derivada é igual a zero!

    Passo 4

    A letra “d” é: Encontre as assíntotas horizontais e verticais.

    Começando pela assíntota horizontal:

    lim x → + π / 2 ⁡ x ⋅ t g x

    Se substituirmos o valor de x → + π / 2 :

    lim x → + π / 2 ⁡ x ⋅ t g x = π 2 ⋅ t g π 2

    Como a tangente de π / 2 tende ao infinito, então:

    lim x → + π / 2 ⁡ x ⋅ t g x = π 2 ⋅ ∞ = ∞

    Não encontramos uma assíntota horizontal!

    Partindo para o outro lado x → - π / 2 :

    lim x → - π / 2 ⁡ x ⋅ t g x = - π 2 ⋅ t g - π 2

    Quando aproximamos o valor de x por números maiores que - π 2 o valor da tangente se aproxima de infinito negativo, então:

    lim x → - π / 2 ⁡ x ⋅ t g x = - π 2 ⋅ - ∞ = ∞

    Não encontramos uma assíntota horizontal!

    Partindo para assíntotas verticais, vamos ver onde temos uma descontinuidade! No caso da nossa função:

    f x = x ⋅ t g x

    No intervalo:

    - π 2 < x < π 2

    Nesse intervalo não existe descontinuidade! Logo, não existe assíntota vertical!

    Passo 5

    E por último, vamos esboçar esse gráfico, nos baseando em todas as informações que nós levantamos anteriormente.

  • Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
  • f x é crescente no intervalo: ( 0 ,   + π / 2 )

    f x é decrescente no intervalo: - π / 2 ,     0

  • Pontos de Máximo e Mínimo:
  • x = 0   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

    Marcando esses pontos:

    f x = x ⋅ t g x

    f 0 = 0 ⋅ t g 0 = 0

  • Concavidade:
  • C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a : - π 2 , + π 2

    Não existem pontos de inflexão!

  • Assíntotas:

N e n h u m a   a s s í n t o t a   e x i s t e !

Porém sabemos que quando nos aproximamos dos pontos extremos do intervalo, temos:

lim x → + π / 2 ⁡ x ⋅ t g x = ∞

lim x → - π / 2 ⁡ x ⋅ t g x = ∞

Ficamos então com o gráfico:

Resposta

  1. f x é crescente no intervalo: ( 0 ,   + π / 2 )

    f x é decrescente no intervalo: - π / 2 ,     0

  2. x = 0   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

  3. C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a : - π 2 , + π 2

    Não existem pontos de inflexão!

  4. N e n h u m a   a s s í n t o t a   e x i s t e !

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