Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Considere a função

f x = x 2 x 2 - 1

Determine o seu domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, estude e classifique os pontos críticos (se existirem), estude as concavidades e classifique os pontos de inflexão (se existirem), determine as assíntotas (verticais, horizontais e/ou oblíquas), e esboce o gráfico de f .

Passo 1

Fala aí, pessoal! Essa questão nos pediu um monte de coisas diferentes, então vamos começar pelo Domínio. Lembrando que domínio são os valores que x pode assumir.

Olhando para a nossa função, quais são os valores que x não pode assumir?

f x = x 2 x 2 - 1

Nesse caso, nossa única limitação é que não podemos zerar o denominador:

x 2 - 1 ≠ 0

Logo, os valores que x não pode assumir são:

x = 1

x = - 1

Então nosso domínio são todos os números reais menos esses dois:

D f x : x → R \ { - 1,1 }

Passo 2

Agora que já falamos sobre o domínio, está na hora de falar sobre crescimento e decrescimento.

O que precisamos lembrar é que quem dita esses intervalos é a primeira derivada:

  • Se f ' x > 0 → f u n ç ã o   c r e s c e n t e
  • Se f ' x < 0 → f u n ç ã o   d e c r e s c e n t e
  • Vamos calcular a primeira derivada da nossa função:

    f x = x 2 x 2 - 1

    Como temos uma função de x no numerador e outra no denominador, temos que usar a Regra do Quociente:

    f x = h x g x → f ' x = h ' x ⋅ g x - g ' x ⋅ h ( x ) g 2 x

    Fazendo isso no nosso caso, teremos:

    f ' x = x 2 ' ⋅ x 2 - 1 - x 2 - 1 ' ⋅ ( x 2 ) x 2 - 1 2

    Fazendo essas derivadas:

    f ' ( x ) = ( 2 x ) ⋅ x 2 - 1 - ( 2 x ) ⋅ x 2 x 2 - 1 2

    Fazendo essas multiplicações no numerador:

    f ' x = 2 x 3 - 2 x - 2 x 3 x 2 - 1 2 = - 2 x x 2 - 1 2

    Agora que temos a primeira derivada, temos que analisar os pontos críticos, ou seja, pontos onde a derivada é igual a zero ou não existe! E porque vamos fazer isso? Porque são os pontos críticos que separam os trechos em que a função é crescente ou decrescente.

    Bom, a derivada será zero quando o numerador for zero, então:

    f ' x = 0 → - 2 x = 0

    Logo o único valor de x que leva esse numerador a zero, é o próprio:

    x = 0

    Agora pontos onde a derivada não existe, são pontos que anulam o denominador:

    f ' x   n ã o   e x i s t e → x 2 - 1 = 0

    Os valores de x que levam esse denominador a zero são:

    x = 1

    x = - 1

    Mas como você deve lembrar do Passo 1 , esses valores não são parte do domínio de f ( x ) , então eles não podem ser pontos críticos! Apenas o x = 0 é um ponto crítico.

    Passo 3

    Relembrando, se a função tiver trechos crescente e decrescentes, o ponto crítico separa esses trechos. Por isso que calculamos esse ponto.

    Então agora, vamos estudar dois intervalos: antes e depois do ponto crítico, ou seja, de - ∞ até 0 e de 0 até + ∞ .

    Nós temos que descobrir, pra valores positivos e negativos de x , qual vai ser o sinal da derivada da função.

    Olhando apenas para o numerador:

    - 2 x

    Quando substituímos por valores negativos, ou seja x < 0 , o numerador será um número positivo.

    Enquanto o denominador:

    x 2 - 1 2

    Substituindo x por números negativos, esse denominador será positivo também, pois o termo está inteiro elevado ao quadrado. Na verdade, esse denominador sempre será positivo, independente do valor de x !

    Logo dividindo um número positivo por outro número positivo, encontraremos um número positivo!

    Agora quando substituímos o numerador por números positivos, como temos um sinal de menos na frente dele, ele se tornará um número negativo.

    Enquanto o denominador, quando substituímos o valor de x por um valor positivo, ele continua sendo positivo!

    Então se dividimos um valor negativo por um número positivo, encontraremos sempre um valor negativo:

    Relembrando nossa regra:

  • Se f ' x > 0 → f u n ç ã o   c r e s c e n t e
  • Se f ' x < 0 → f u n ç ã o   d e c r e s c e n t e

Assim, percebemos que no intervalo ( - ∞ , 0 ) , nossa função é crescente, enquanto no intervalo de ( 0 , ∞ ) , nossa função é decrescente!

Passo 3

Agora desejamos estudar a concavidade da função e para isso usamos o Teste da Segunda Derivada, ou seja:

  • Se f ' ' x > 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a
  • Se f ' ' x < 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Nossa primeira derivada vale:

f ' x = - 2 x x 2 - 1 2

Temos que usar a Regra do Quociente mais uma vez:

f ' ' x = - 2 x ' ⋅ x 2 - 1 2 - - 2 x ⋅ x 2 - 1 2 ' x 2 - 1 2 ⋅ 2

Fazendo as derivadas separadamente:

- 2 x ' = - 2

Enquanto para essa derivada x 2 - 1 2 ' , precisaremos usar a Regra da Cadeia:

x 2 - 1 2 ' = x 2 - 1 ' ⋅ 2 ⋅   ( x 2 - 1 ) = 2 x ⋅ 2 ⋅ x 2 - 1

Então:

f ' ' x = ( - 2 ) ⋅ x 2 - 1 2 - - 2 x ⋅ 2 x ⋅ 2 ⋅ x 2 - 1 x 2 - 1 2 ⋅ 2 = - 2 ⋅ x 2 - 1 2 + 8 x 2 ⋅ ( x 2 - 1 ) x 2 - 1 4

Podemos cortar o ( x 2 - 1 ) que está presente tanto no numerador quanto no denominador:

f ' ' x = - 2 ⋅ x 2 - 1 2 + 8 x 2 ⋅ ( x 2 - 1 ) x 2 - 1 4 = - 2 x 2 - 1 + 8 x 2 x 2 - 1 3

Simplificando o numerador, nós temos:

f ' ' x = - 2 x 2 - 1 + 8 x 2 x 2 - 1 3 = - 2 x 2 + 2 + 8 x 2 x 2 - 1 3 = + 2 + 6 x 2 x 2 - 1 3

Antes de olharmos para a concavidade, vamos identificar os pontos de inflexão, ou seja, pontos que tornam a Segunda Derivada igual a zero:

f ' ' x = 0 → 2 + 6 x 2 x 2 - 1 3 = 0

Para isso, o numerador da Segunda Derivada precisa ser igual a zero:

6 x 2 + 2 = 0

6 x 2 = - 2

Percebe que não temos nenhuma raiz real, logo não temos nenhum ponto de inflexão!

Passo 4

Agora vamos voltar a nossa concavidade, a Segunda Derivada é:

f ' ' x = + 2 + 6 x 2 x 2 - 1 3

Você concorda comigo que o numerador é sempre positivo:

6 x 2 + 2 > 0

Porque independentemente do valor de x , como ele será elevado ao quadrado, ele se tornará positivo. Então precisamos analisar o valor do denominador:

x 2 - 1 3

Concorda comigo que se o valor de x 2 for menor que 1 , teremos um valor negativo elevado ao cubo e continuará negativo? Logo:

x 2 < 1 → x 2 - 1 3 < 0

Então se o valor de x estiver entre - 1 e 1 , nós teremos um denominador negativo e consequentemente, uma Segunda Derivada sempre negativa:

- 1 < x < 1 → f ' ' x = + - < 0

Enquanto se tivermos um valor de x maior que 1 ou menor que 1 , teremos um denominador positivo:

x < - 1   o u   x > 1 → x 2 - 1 3 > 0

Como o denominador é positivo, então a Segunda Derivada também é maior que zero:

x < - 1   o u   x > 1 → f ' ' x = + + > 0

Relembrando: quando a Segunda Derivada é positiva, a concavidade é para cima, enquanto a Segunda Derivada é negativa, a concavidade é para baixo. Logo:

- 1 < x < 1 → f ' ' x < 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

x < - 1   o u   x > 1 → f ' ' x > 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

Passo 5

Agora queremos estudar as assíntotas verticais, que são pontos de descontinuidade, em que a função tende a + ∞ ou - ∞ . Então, temos que estudar o limite quando nos aproximamos de valores que estão fora do nosso domínio, ou seja, x = - 1 e x = 1 .

Começando por x = 1 :

lim x → 1 + ⁡ x 2 x 2 - 1 = 1 + 0 = + ∞

Vamos fazer o limite pelo outro lado:

lim x → 1 - ⁡ x 2 x 2 - 1 = 1 - 0 = - ∞

Como fazendo o limite dos dois lados de x = 1 , chegamos no valor de , então ele é uma assíntota vertical!

Agora vamos estudar o limite pelos dois lados de x = - 1 :

lim x → - 1 + ⁡ x 2 x 2 - 1 = 1 - 0 = - ∞

lim x → - 1 - ⁡ x 2 x 2 - 1 = 1 + 0 = + ∞

Vemos que de novo, o limite é igual a pelos dois lados de x = - 1 , então ele também é uma assíntota vertical!

Passo 6

Agora vamos estudar as assíntotas horizontais. Pra isso, aplicamos o limite para + ∞ e - ∞ , e vemos se isso dá um valor real.

Nesse caso, se fizermos x = 0 , vamos cair em uma indeterminação. Então vamos colocar o nosso x 2 do denominador em evidência, porque que a gente reescreve as funções a gente as vezes consegue fugir das indeterminações.

lim x → ∞ ⁡ x 2 x 2 - 1 = l i m x → ∞ x 2 x 2 1 - 1 x 2 = l i m x → ∞ 1 1 - 1 x 2 = 1 1 - 0 = 1

Ótimo! Como chegamos a um valor, então temos uma assíntota horizontal!

Vamos fazer o limite aproximando x de - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 - 1 = l i m x → - ∞ x 2 x 2 1 - 1 x 2 = l i m x → - ∞ 1 1 - 1 x 2 = 1 1 + 0 = 1

Confirmamos que y = 1 é uma assíntota horizontal, tanto para x tendendo para mais infinito e menos infinito.

Passo 7

Juntando todas as informações sobre concavidade e assíntotas verticais e horizontais, encontramos o seguinte gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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