Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

Ver Teoria

Enunciado

Considere a função f definida por

f x = g x   s e   x < 1 h x s e   x ≥ 1

Onde g x = x 2 + x + a e h x = 2 arctan ⁡ x + b x .

  1. Determine o valor das constantes a e b para que f seja contínua e diferenciavel.
  2. Atribua às constantes a e b os valores encontrados no item anterior. Determine, caso existam:
  3. b.1) As retas assíntotas horizontais do gráfico de f

    b.2) As retas assíntotas verticais de f .

    b.3) As retas assíntotas oblíquas do gráfico de f .

    b.4) Os intervalos de crrescimento e decrescimento de h .

    b.5) Os intervalos onde o gráfico de h tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo

  4. Faça um esboço do gráfico de f e de suas assíntotas, caso existam.

Passo 1

Letra a) Pow, se o próprio problema nos disse que a função é continua e diferenciável, é pq ele quer que utilizamos esses detalhes. Veja só:

Se a função f é contínua, então no ponto 1 , onde ocorre a mudança de função, essas duas coisas devem ser iguais, ou seja:

g 1 = h ( 1 )

Substituindo...

1 2 + 1 + a = 2 arctan ( ⁡ 1 ) + b

Ou seja

2 + a = 2 π 4 + b →       2 + a = π 2 + b

Passo 2

Por outro lado, se a função é diferenciável, então pela definição, as derivadas devem ter o mesmo valor no ponto problemático:

g ' 1 = h ' ( 1 )

Deriavando primeiro, vamos obter

g ' x = 2 x + 1

h ' x = 2 1 x 2 + 1 + b

Substituindo agora na nossa relação

g ' 1 = h ' 1

3 = 2 1 2 + b →     b = 2

Se b = 2 , então

2 + a = π 2 + b

a = π 2

Passo 3

Item b.1: Para determinar as assíntotas horizontais, batamos aplicar o limite dessa função no infinito positivo, e depois no infinito negativo.

Apenas lembre-se que no lado positivo, vamos trabalhar com a função h e no negativo, a g !:)

lim x → + ∞ ⁡ 2 arctan ⁡ x + 2 x

Como 2 x → + ∞ , quando x → + ∞

Esse limite todo vai para o infinito

lim x → + ∞ ⁡ 2 arctan ⁡ x + 2 x = + ∞

Quanto ao outro lado da história, ou seja:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + π 2

Colocando em evidência esse x

lim x → - ∞ ⁡ x x + 1 + π 2

Notasse que quando x é um termo muito grande negativo, x x + 1 é um termo muito grande positivo, pois o produto de duas coisas negativas é algo positivo, logo

lim x → - ∞ ⁡ x x + 1 + π 2 = + ∞

Logo, não existem assintotas horizontais.

Passo 4

Item b.2: Para determinar as assintotas verticais, devemos olhar para o dominio da função f . Como essa função está definida em toda a reta, não existe nenhum ponto de x com algum problema, logo podemos dizer que não existem assintotas verticais!;)

Passo 5

Item b.3: Aqui, a gente vai ter um pouquinho mais de trabalho do que as outras, mas é apenas aplicação de fórmula também!

Para verificar se existe esse tipo de assíntota devemos buscar a solução de dois limites muito parecidos com os que usamos para averiguar a existência de assíntotas horizontais:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + π 2 x

Dividindo todos os termos de cima por x

lim x → - ∞ ⁡ x + 1 + π 2 x = - ∞

Averiguando o outro lado da coisa...

lim x → + ∞ ⁡ 2 arctan ⁡ x + 2 x x

Como em cima vai para o infinito e embaixo também ∞ ∞ , podemos aplicar L ' h o p i t a l :

lim x → + ∞ ⁡ 2 arctan ⁡ x + 2 x x = lim x → + ∞ ⁡ 2 1 x 2 + 1 + 2 1

x vai para o infinito, todo esse produto   2 1 x 2 + 1 vai a zero, logo concluímos que

lim x → + ∞ ⁡ 2 1 x 2 + 1 + 2 = 2

Logo, existe uma assíntota oblíqua de coeficiente angular 2 .

Para encontrar o coeficiente linear basta fazermos:

lim x → + ∞ ⁡ f x - 2 x

Ou seja

lim x → + ∞ ⁡ 2 arctan ⁡ x + 2 x - 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 arctan ⁡ x

Quando x vai para o infinito, o arco-tangente vai para π 2 , logo

lim x → + ∞ ⁡ 2 arctan ⁡ x = π

Portanto, a assíntota obliqua é

y = 2 x + π

Passo 6

Item b.4: Como buscamos os intervalos de crescimento e decrescimento de h , necessitamos de trabalhar com a sua derivada, ou seja:

h x = 2 arctan ⁡ x + 2 x

h ' x = 2 1 x 2 + 1 + 2

Repare que nessa função derivada que obtemos, o denominador é um termo positivo pra qualquer x , pois o menor valor que ele pode dar é 1 , quando x = 0 . Logo, todo esse termo 1 x 2 + 1 , é positivo.

O dobro de algo positivo é ainda positivo, somando com 2   ... Continua sempre positivo, logo h ( x ) sempre cresce no sei domínio:)

Passo 7

Item b.5: Analisar a concavidade é analisar a segunda derivada:

h ' x = 2 1 x 2 + 1 + 2

Derivando utilizando a regra da fração...

h ' ' x = - 2 x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

h ' ' x = - 4 x x 2 + 1 2

Como o denominador é sempre positivo, o sinal de h ' ' depende inteiramente de ( - 4 x ) . Como - 4 x assume valores negativos par x > 0 , h ' ' também terá; quando x < 0 , ( - 4 x ) será positivo e h ' ' também será, percebeu? Logo:

x < 0   →       h ' ' > 0         ⇒   C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a

x > 0 →     h ' ' < 0     ⇒     C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Passo 8

Letra c) Jogando todos esses ingredientes no gráfico com a atenção de que a f ( x ) muda de função quando x = 1 , ou seja, antes de 1 ela é uma parábola com a concavidade para cima e depois de 1 ela é essa h com concavidade para baixo e com essa assíntota obliqua, teremos:

Resposta

a)

b = 2

a = π 2

b.1) Não existem assíntotas horizontais.

b.2) Não existem assíntotas verticais.

b.3) y = 2 x + π

b.4) Crescente em todo domínio de h .

b.5)

x < 0 ;   C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a

x > 0 ;   C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

c)

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula move-se segunda a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , em que t é medido em segundos e s em metrosEncontre a velocidade no instante t Qual a velocidade depois de 3 s Quando a partícula
Uma partícula move-se segunda a lei do movimento s = f ( t ) , t ≥ 0 , em que t é medido em segundos e s em metrosEncontre a velocidade no instante t Qual a velocidade depois de 3 s Quando a partícula
Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais, verticais, oblíquas e curvilíneas e dê suas equações. I
Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua. y = 2 x 3 + x 2 + 1 x 2 + 1
Mostre que a curva y = x - tan - 1 ⁡ x tem duas assíntotas oblíquas: y = x + π / 2 e y = x - π / 2 . Use esse fato para esboçar a curva.