Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Considere a função g x = 3 arctg ⁡ ( 2 x + 5 ) - x e determine o que se pede calculando todos os limites necessários. Caso não haja, justifique por que não há.

OBS.: arctg ⁡ ( x ) é a função inversa da função tangente.

( a ) Domínio de g ;

( b ) Derivada de g ;

( c ) Equação de cada uma das assíntotas verticais da curva y = g ( x ) ;

( d ) Equação de cada uma das assíntotas horizontais da curva y = g ( x ) ;

( e ) Equação de cada uma das assíntotas oblíquas (inclinadas) da curva y = g ( x ) .

Passo 1

( a ) Como o arco tangente de ( 2 x + 5 ) está definido para todo x , bem como o - x . Assim, concluímos que seu domínio corresponde a todos os reais:

D o m = R

Passo 2

( b ) Vamos derivar a função usando a Regra da Cadeia:

g ' x = 3 2 x + 5 ' 1 + 2 x + 5 2 - x '

= 3 2 1 + 2 x + 5 2 - 1

= 6 1 + 2 x + 5 2 - 1

Passo 3

( c ) Como o domínio da função é todo o campo dos números reais percebemos que não haverão descontinuidades. As assíntotas verticais estão diretamente relacionadas com a existência de descontinuidades. Vemos que, portanto, não haverão assíntotas dessa natureza.

Passo 4

( d ) Para determinar se existem assíntotas horizontais devemos calcular o limite de g ( x ) para x → ∞ e x → - ∞ :

lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = lim x → ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ ( 2 x + 5 ) - x

Ora, arco tangente é uma função que tem a imagem definida entre – π 2 , π 2 . No caso, assim como lim x → π 2 ⁡ tg ⁡ ( x ) = ∞ temos lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ ( x ) = π 2 . Com uma mudança de variáveis encontramos:

lim x → ∞ ⁡ arctg ⁡ ( 2 x + 5 ) = π 2

Da mesma forma, pelo mesmo raciocínio, acharemos:

lim x → - ∞ ⁡ arctg ⁡ ( 2 x + 5 ) = - π 2

Enfim, para g ( x ) teremos:

lim x → ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ ( 2 x + 5 ) - x = 3 π 2 - ∞ = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ ( 2 x + 5 ) - x = - 3 π 2 + ∞ = + ∞

Concluímos, já que os limites não convergem, que não existem assíntotas horizontais.

Passo 5

( e ) Procuramos pelas assíntotas oblíquas agora. Modelando a assíntota para x → ∞ por y = m x + n :

m = lim x → ∞ ⁡ g x x = lim x → ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ 2 x + 5 - x x

= lim x → ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ 2 x + 5 x - 1

= 3 π 2 ∞ - 1

m = - 1

n = lim x → ∞ ⁡ g x - m x = lim x → ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ 2 x + 5 - x - - 1 x

= lim x → ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ 2 x + 5

n = 3 π 2

Encontramos a reta y = - x + 3 π 2

Para x → - ∞ vamos modelar a reta por y = m * x + n * e seguir com a definição:

m * = lim x → - ∞ ⁡ g x x = lim x → - ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ 2 x + 5 - x x

= lim x → - ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ 2 x + 5 x - 1

= 3 π 2 ∞ - 1

m * = - 1

n = lim x → - ∞ ⁡ g x - m x = lim x → - ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ 2 x + 5 - x - - 1 x

= lim x → - ∞ ⁡ 3 arctg ⁡ 2 x + 5

n * = - 3 π 2

Achamos a reta y = - x - 3 π 2 .

Nossa assíntotas são, portanto, y = - x + 3 π 2 e y = - x - 3 π 2 .

Resposta

a   D o m = R

b   g ' x = 6 1 + 2 x + 5 2 - 1

c   N ã o   h á   a s s .   v e r t i c a i s .

d   N ã o   h á   a s s .   h o r i z o n t a i s .

( e )     y = - x + 3 π 2   e   y = - x - 3 π 2

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