Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Questão 2:

Considere a função f definida por

f x = 2 x ⋅ e - 1 / x

  1. Determine o domínio da função f .
  2. Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento de f , caso existam.
  3. Determine as equações das retas assíntotas horizontais do gráfico de f , caso existam.
  4. Determine as equações das retas assíntotas verticais do gráfico de f , caso existam.
  5. Determine as equações das retas assíntotas oblíquas do gráfico de f , caso existam.
  6. Sabendo que no intervalo - ∞ ,   0 o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo, e que no intervalo 0 ,   + ∞ o gráfico de f tem concavidade voltada para cima, utilize as informações obtidas nos itens anteriores para esboçar o gráfico de f e suas retas assíntotas, caso existam.

Passo 1

a )

Para determinar o domínio de uma função, sempre buscamos pontos onde a função não funciona e o eliminamos, saca? Então...

f x = 2 x ⋅ e - 1 / x

Repare que tem uma fração com o x no denominador ali...

- 1 / x

Então, o x não pode ser 0 , pois se não, ganhamos uma indeterminação.

Mas repare que essa é a única restrição. Qualquer outro valor para x , estaria ok. Então o Domínio D o m de f é todo o valor tirando o 0 ...

D o m   f = x ∈ R   |     x ≠ 0

Passo 2

b )

Para determinar os intervalos de crescimento ou decrescimento sempre devemos analisar o sinal da primeira derivada, pois...

f ' x > 0             →                 f   c r e s c e n t e

f ' x < 0             →                 f   d e c r e s c e n t e

Então calculemos a primeira derivada...

Passo 3

f x = 2 x ⋅ e - 1 x         →

Aplicando a regra do produto...

f ' x = 2 x ' e - 1 x + 2 x e - 1 x '         →

f ' x = 2 e - 1 x + 2 x e - 1 x '         →

Calculando essa outra aplicando a regra da cadeia...

f ' x = 2 e - 1 x + 2 x e - 1 x - 1 x '         →

f ' x = 2 e - 1 x + 2 x e - 1 x 1 x 2         →

f ' x = 2 e - 1 x + 2 e - 1 x 1 x         →

f ' x = 2 e - 1 x 1 + 1 x

Passo 4

Bem, a função potencial é sempre positiva, então o sinal da derivada depende inteiramente do termo...

1 + 1 x = x + 1 x

Vamos analisar o x + 1 ...

Enquanto o x ...

Logo, a divisão...

Como o sinal da primeira derivada depende inteiramente desse sinal, podemos afirmar que...

Logo, a função é crescente em...

( - ∞ ,   - 1 ) ∪ 0 ,   + ∞

E decrescente no intervalo...

- 1 ,   0

Passo 5

c )

Para buscar as assíntotas horizontais, calculemos o limite da função quando ela vai para os infinitos...

lim x → + ∞ ⁡ f x           e             lim x → - ∞ ⁡ f x

Para o primeiro limite...

lim x → + ∞ ⁡ 2 x ⋅ e - 1 x

Repare que quando x vai ao infinito, o expoente vai a 0 enquanto então a exponencial vai a 1 , enquanto que o 2 x vai ao infinito...

lim x → + ∞ ⁡ 2 x ⋅ e - 1 x = + ∞

Já o outro limite...

lim x → - ∞ ⁡ 2 x ⋅ e - 1 x

A exponencial continua indo a 1 , mas o 2 x vai ao infinito negativo, logo...

lim x → - ∞ ⁡ 2 x ⋅ e - 1 x = - ∞

Então não existe assíntotas horizontais ;)

Passo 6

d )

Para as assíntotas verticais, também calculemos limites, mas dessa vez, ao invés de um limite no infinito, calculemos o limite próximo do ponto problemático que não está no domínio:

x = 0

Se os limites:

lim x → 0 + ⁡ f x           e             lim x → 0 - ⁡ f x

Forem infinitos, então o x = 0 é uma e única assíntota vertical. Única porque não tem outros pontos de problema no domínio, saca?

Então vamos lá!

Passo 7

lim x → 0 + ⁡ 2 x ⋅ e - 1 x

Quando o x vai a 0 pelos positivos, temos algo do tipo...

lim x → 0 + ⁡ 2 0 ⋅ 1 e + ∞ = 0 ⋅ 0 = 0

Sacou? Pois os dois vão a 0 , logo produto também vai!

Agora...

lim x → 0 - ⁡ 2 x ⋅ e - 1 x

Epa! Agora a coisa muda de figura, pois quando tendemos a 0 pelos negativos - 1 x é positivo e tende ao infinito, logo, ganhamos uma indeterminação do tipo: 0 ⋅ ∞ ...

lim x → 0 - ⁡ 2 x ⋅ e - 1 x = lim x → 0 - ⁡ 0 ⋅ ∞

E importante, esse limite não é 0 . Essa é uma indeterminação que para resolver, perceba que podemos fazer L’Hopital caso conseguimos um ∞ / ∞ ...

lim x → 0 - ⁡ 2 x ⋅ e - 1 x = lim x → 0 - ⁡ 2 e - 1 x 1 x

Prontinho! Agora é só aplicar o Teorema...

lim x → 0 - ⁡ 2 e - 1 x 1 x = 2 lim x → 0 - ⁡ e - 1 x ' 1 x ' =

Aplicando a regra da cadeia no nominador...

lim x → 0 - ⁡ 2 e - 1 x ⋅ - 1 x ' 1 x ' = lim x → 0 - ⁡ - 2 e - 1 x ⋅ 1 x ' 1 x ' =

lim x → 0 - ⁡ - 2 e - 1 x

Já vimos que esse cara e - 1 x está indo para o infinito positivo, logo...

lim x → 0 - ⁡ - 2 e - 1 x = - ∞

Passo 8

Como um dos limites laterais foi - ∞ ,

lim x → 0 - ⁡ - 2 e - 1 x = - ∞

Isso significa que sim, x = 0 é uma assíntota vertical

Passo 9

e )

Não morra de tédio, ainda faltam às assíntotas oblíquas. Uma assíntota oblíqua tem equação...

y = m x + b

Onde o m , pode ser encontrado (se tiver assíntota obliqua) fazendo...

m = lim x → + ∞ ⁡ f x x =

lim x → + ∞ ⁡ 2 x ⋅ e - 1 / x x = lim x → + ∞ ⁡ 2 e - 1 / x

Como a exponencial se aproxima de 1 , pois o expoente - 1 / x vai a 0 ...

m = lim x → + ∞ ⁡ 2 e - 1 / x = 2

Então existe assíntota oblíqua. Para encontrar o b ...

Passo 10

b = lim x → + ∞ ⁡ f x - m x =

lim x → + ∞ ⁡ 2 x ⋅ e - 1 / x - 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x e - 1 x - 1

Repare que agora existe uma indeterminação, pois o termo do 2 x vai ao infinito enquanto que o termo do parênteses vai a 0 , então temos uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 . Aplicando L’Hopital...

lim x → + ∞ ⁡ 2 x e - 1 x - 1 = lim x → + ∞ �� 2 e - 1 x - 1 1 x =

lim x → + ∞ ⁡ 2 e - 1 x - 1 ' 1 x ' = lim x → + ∞ ⁡ 2 e - 1 x ⋅ - 1 x ' 1 x ' =

lim x → + ∞ ⁡ - 2 e - 1 x = - 2

Então uma assíntota oblíqua é y = m x + b ...

y = 2 x - 2

Passo 11

Mas calma, ainda não acabou esse item, pois pode ter outra assíntota quando o x vai ao infinito, mas dessa vez negativo:

y = n x + c

Onde

n = lim x → - ∞ ⁡ f x x =

lim x → - ∞ ⁡ 2 x ⋅ e - 1 / x x = lim x → - ∞ ⁡ 2 e - 1 / x = 2

Então n = 2 .

c = lim x → + ∞ ⁡ f x - n x =

lim x → - ∞ ⁡ 2 x ⋅ e - 1 / x - 2 x =

Como já simplificado por L’Hopital no passo anterior...

lim x → - ∞ ⁡ - 2 e - 1 x = - 2

Logo, para o lado negativo, a assíntota oblíqua é a mesma:

y = 2 x - 2

Passo 12

f )

Bem, colocando todas as informações juntas:

  • A função não está definida no 0 , embora quando nos aproximamos de 0 pela direita é 0 e pela esquerda é uma assíntota vertical x = 0 .
  • Além disso, sabemos que ela tem esse aspecto com relação ao crescimento e as concavidades:

Logo a curva f só pode ser algo assim:

Essa linha vermelha é a assíntota oblíqua dela !

Ufa! Enfim...

Resposta

a)

  D o m   f = x ∈ R   |     x ≠ 0

b)

  Crescente   →   ( - ∞ ,   - 1 ) ∪ 0 ,   + ∞

Decrescente   →       - 1 ,   0                                    

c) Não existem assíntotas horizontais

d) x = 0

e) y = 2 x - 2

f)

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