Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2013.2 – 4

Seja g x = - 1 + log 3 x + e . Determine o que se pede justificando a não existência, se for o caso:

  1. Domínio
  2. Ponto de interseção do gráfico da função g com os eixos cartesianos
  3. Intervalo de crescimento e decrescimento
  4. Máximos e mínimos locais
  5. Assíntotas horizontais, verticais e oblíquas
  6. Desenhe o gráfico de g com todos os elementos encontrados acima

Passo 1

a ) Primeiro vamos ver o domínio, temos dois detalhes com problemas ali, o cara dentro do logaritmo e a raiz quadrada, primeiro esse cara dentro do log precisa ser positivo, ou seja:

x + e > 0

Mas como raiz quadrada é algo sempre positivo isso está certinho.

O outro problema é que o cara dentro da raiz deve ser positivo, repara que eu ignoro quando a raiz for 0 por causa do log:

x + e > 0

x > - e

Então qualquer valor de x nesse intervalo, o cara dentro da raiz é maior que 0 e o cara dentro do log tbm, então o domínio são os reais:

D = x R x > - e

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Passo 2

b ) Para achar os pontos de interseção com os eixos coordenados basta fazer a função quando x = 0 e achar o y e depois fazer y = 0 e achar o x .

Vamos começar fazendo x = 0 :

y = - 1 + log 3 0 + e

y = - 1 + log 3 e

E a parada fica por isso mesmo, o ponto que ele corta o eixo y é 0 , - 1 + log 3 e .

Vamos ver agora com y = 0 :

0 = - 1 + log 3 x + e

1 = log 3 x + e

Usando propriedades de log vamos ter:

x + e = 3 1

x + e = 3

x + e 2 = 3 2

x + e = 9

x = 9 - e

O ponto que ele corda o eixo x vai ser 9 - e , 0 .

Passo 3

c ) Para olhar o intervalo de crescimento vamos olhar a derivada, vamos derivar a função:

g ' x = - 1 + log 3 x + e '

Temos um log meio louco ali no meio, normalmente derivamos só o logaritmo na base e , vamos usar propriedades de logaritmo e fazer essa mudança de base:

log 3 x + e = ln x + e ln 3

Vamos ter:

g ' x = - 1 + ln x + e ln 3 '

g ' x = 0 + 1 ln 3 x + e ' x + e = 1 ln 3 1 x + e x + e 1 / 2 '

= 1 ln 3 1 x + e 1 2 x + e 1 / 2 - 1 = 1 ln 3 1 x + e 1 2 x + e - 1 / 2

= 1 ln 3 1 x + e 1 2 1 x + e = 1 2 ln 3 x + e 2 = 1 2 ln 3 x + e

Essa derivada só depende do sinal de x + e , mas x + e no domínio vai ser sempre positivo, lembra que ele precisa ser positivo para a raiz não dar problema? Isso nos diz que:

g ' x > 0

Em todo o domínio, ou seja, é sempre crescente.

Passo 4

d ) Como a função é sempre crescente ela não vai ter nenhum extremo em todo o domínio.

Passo 5

e ) A primeira pergunta é WTF é assíntota inclinada, fuuuuuuuuu!!!!

Relaxa, vamos primeiro para a assíntota que você conhece, a assíntota horizontal, como eu acho a assíntota horizontal?

Temos que fazer:

lim x + f x

Dessa vez não fazemos x - isso porque o domínio começa no - e e não “começa” no - .

Vamos começar com o limite para + .

lim x + f x = lim x + - 1 + log 3 x + e = - 1 + log 3 = - 1 + =

Logo ele não vai ter assíntotas horizontais.

Passo 6

Vamos entender a assíntota inclinada, isso vai ser uma reta inclinada que a função se aproxima, a questão está em como calcular a reta.

Uma reta inclinada, vai ser assim:

y = a x + b

Precisamos achar os coeficientes a e b da assíntota obliqua, podemos ter dois pares de coeficientes, um vai ser o par de baixo:

a = lim x + f x x

b = lim x + f x - a x

Beleza? Não fazemos o x - pelo mesmo motivo da horizontal, vamos achar o valor de a :

a = lim x + - 1 + log 3 x + e x

Já vimos que a parte de cima vai dar então isso vai dar uma indeterminação / , vamos aplicar L’Hôpital:

lim x + - 1 + log 3 x + e x = lim x + - 1 + log 3 x + e ' x '

Já temos a derivada de f né? Então vai ficar

lim x + - 1 + log 3 x + e ' x ' = lim x + 1 2 ln 3 x + e 1 = lim x + 1 2 ln 3 x + e = 1 = 0

Precisaríamos ter a = 0 , mas uma reta assim não é inclinada, então não vamos ter assíntota oblíqua.

Passo 7

Vamos ver agora a assíntota vertical, aqui o único cara que nos interessa é quando o que está dentro do log for 0 , então vamos pegar o limite quando x - e

lim x - e + - 1 + log 3 x + e

Eu coloquei pela direita porque o nosso domínio só tem a parte maior que e

lim x - e + - 1 + log 3 x + e = - 1 + log 3 - e + e = - 1 + log 3 0 = - 1 - = -

Então como o limite vai para - temos uma assíntota vertical que vai ser

x = - e

Passo 8

O esboço do gráfico vai ficar:

Resposta

  1. D = x R x > - e
  2. O ponto que ele corta o eixo y é 0 , - 1 + log 3 e
  3. O ponto que ele corda o eixo x vai ser 9 - e , 0

  4. É crescente em todo o domínio
  5. Não possui máximo e mínimos
  6. Não tem assíntotas horizontais ou oblíquas
  7. Assíntotas verticais: x = - e

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