Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Seja y 3 - x 2 6 - x = 0 .

  1. Determine todas as assíntotas (horizontais, verticais e oblíquas) de y , justificando quando não houver
  2. Determine os pontos de máximo e mínimo, justificando quando não houver
  3. Esboce o gráfico da curva acima

Passo 1

Esse passo vai ser rapidinho, quer ver? Nessa forma, fazer as contas fica complicado! Então vamos desenrolar esse enunciado e escrever y = f x . Saca só:

y 3 - x 2 6 - x = 0

y 3 = x 2 6 - x

y 3 = 6 x 2 - x 3

y = f x = 6 x 2 - x 3 3

Passo 2

Show, agora que temos f x , vamos checar as assíntotas verticais. Pra isso, temos que ver o domínio da função. Bom, o domínio vai ser todo o conjunto dos reais menos o conjunto dos pontos que dão problema. Como temos uma raiz cúbica, dentro da raiz podemos ter sim valores negativos!

Se nenhum ponto dá problema, então nenhum é candidato à assíntota vertical e logo não temos assíntotas verticais ;)

Passo 3

Pras horizontais agora, vamos dar uma olhada em como f x se comporta nos infinitos, beleza? Bora lá:

lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 = lim x → ± ∞ ⁡ x 3 6 x - 1 3 = lim x → ± ∞ ⁡ x 6 x - 1 3

Como:

lim x → ± ∞ ⁡ x 6 x - 1 3 = lim x → ± ∞ ⁡ x ∙ lim x → ± ∞ ⁡ 6 x - 1 3

E

lim x → ± ∞ ⁡ 6 x - 1 3 = - 1 3 =   - 1

Vamos ter que

lim x → ± ∞ ⁡ f x = - lim x → ± ∞ ⁡ x

E logo:

lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞ = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = - - ∞ = ∞

Passo 4

Vamos lembrar que as assíntotas oblíquas são definidas por:

y = m x + n

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x           ;           n = lim x → ± ∞ ⁡ f x - m x

Então, uma coisa de cada vez se não a gente se afoba. Primeiro achamos m , depois n . O cálculo de m vai ficar:

m = lim x → ± ∞ ⁡ f x x = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 x

Se a gente colocar no numerador o x 3

m = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 x 3 3 = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 x 3 3

m = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x - 1 3 = 0 - 1 3 = - 1 3 = - 1

Agora vamos calcular o valor de n . Felizmente só vamos ter 1 n pra nos preocuparmos já que também só achamos 1 m . Como m = - 1 , calculamos o n da seguinte forma:

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 + x

Puts, esse limite parece complicado. Mas olha um detalhe importante dele: a raiz cúbica! Ela atrapalha, não é mesmo? Que tal tentarmos tirar ela daí usando esse produto notável:

a + b a 2 - a b + b 2 = a 3 + b 3

Se fizermos a = 6 x 2 - x 3 3 e b = x , multiplicando em cima e em baixo por a 2 - a b + b 2 temos:

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 + x ∙ 6 x 2 - x 3 3 2 - x 6 x 2 - x 3 3 + x 2 6 x 2 - x 3 3 2 - x 6 x 2 - x 3 3 + x 2

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 3 3 + x 3 6 x 2 - x 3 2 3 - x 6 x 2 - x 3 3 + x 2

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 - x 3 + x 3 6 x 2 - x 3 2 3 - x 6 x 2 - x 3 3 + x 2

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 6 x 2 - x 3 2 3 - x 6 x 2 - x 3 3 + x 2

Show de bola, numerador simplificado. Agora vamos simplificar o denominador. Vamos abrir o termo 6 x 2 - x 3 2 :

6 x 2 - x 3 2 = 36 x 4 - 12 x 5 + x 6

E colocando x 6 em evidência:

6 x 2 - x 3 2 = x 6 36 x 2 - 12 x + 1

Agora, colocando x 3 em evidência em 6 x 2 - x 3 , ficamos com:

6 x 2 - x 3 = x 3 6 x - 1

Jogando isso dentro do denominador:

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 x 6 36 x 2 - 12 x + 1 3 - x x 3 6 x - 1 3 + x 2

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2 x 2 36 x 2 - 12 x + 1 3 - x ∙ x 6 x - 1 3 + x 2

Colocando x 2 em evidência:

n = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 x 2 6 36 x 2 - 12 x + 1 3 - 6 x - 1 3 + 1

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 36 x 2 - 12 x + 1 3 - 6 x - 1 3 + 1

E, finalmente, aplicando o limite:

n = lim x → ± ∞ ⁡ 6 36 x 2 - 12 x + 1 3 - 6 x - 1 3 + 1 = 6 0 - 0 + 1 3 - 0 - 1 3 + 1 =

n = 6 1 3 - - 1 3 + 1 = 6 1 - - 1 + 1 = 6 3 = 2

Ufa, cabou! A assíntota oblíqua será então:

y = - x + 2

Passo 5

Agora vamos ver se a nossa curva tem pontos de máximo ou de mínimo. E pra isso, vamos lembrar do clássico deriva e iguala a zero. Saca só:

f x = 6 x 2 - x 3 3 = 6 x 2 - x 3 1 3

f ' x = 1 3 6 x 2 - x 3 1 3 - 1 6 x 2 - x 3 '

f ' x = 1 3 6 x 2 - x 3 - 2 3   12 x - 3 x 2

f ' x = 4 x - x 2 6 x 2 - x 3 2 3  

Igualando à 0 , temos que:

4 x - x 2 6 x 2 - x 3 2 3   = 0

4 x - x 2 = 0

4 x = x ²

x = 4   e   x = 0

Ok, mas ainda precisamos ver os pontos em que a derivada não existe. Oras, única forma da derivada não existir é se o denominador for igual à 0 , não é mesmo? Então:

6 x 2 - x 3 = 0

6 x 2 = x 3

x = 6   e   x = 0

Vamos analisar então o sinal da derivada em intervalos que envolvam esses pontos, ok? Ai sim vamos poder ver quando f x cresce e quando decresce. Esses intervalos vão ser:

x < 0

0 < x < 4

4 < x < 6

x > 6

Pro primeiro intervalo, vamos escolher, por exemplo, x = - 1 . Vamos ter:

f ' - 1 = 4 - 1 - - 1 2 6 - 1 2 - - 1 3 2 3   ≅ - 1,37 < 0

Pro segundo intervalo, vamos escolher, por exemplo, x = 1 . Vamos ter:

f ' ( - 1 ) = 4 - 1 6 - 1 2 3   ≅ 1,03 > 0

Pro terceiro intervalo, vamos escolher, por exemplo, x = 5 . Vamos ter:

f ' ( 5 ) = 4.5 - 5 2 6 . 5 2 - 5 3 2 3   ≅ - 0,58 < 0

E pro último, vamos escolher, por exemplo, x = 7 . Vamos ter:

f ' ( 7 ) = 4.7 - 7 2 6 . 7 2 - 7 3 2 3   = - 1,57 < 0

Como a função é crescente quando sua primeira derivada é positiva e decrescente quando é negativa, temos que:

f x = D e s c r e s c e n t e   ;                               x < 0 C r e s c e n t e   ;                           0 < x < 4 D e s c r e s c e n t e   ;             4 < x < 6 D e s c r e s c e n t e   ;                               x > 6

Passo 6

É nesse passo que juntamos tudo pra poder esboçar, então vamos lá. Primeiramente, a curva:

y 3 - x 2 6 - x = 0

Pode ser escrita como uma função:

f x = 6 x 2 - x 3 3

Dessa curva tiramos as seguintes informações:

  • Intercepta o eixo x em x = 0 e x = 6
  • Intercepta o eixo y em y = 0
  • Não possui assíntotas verticais
  • Não possui assíntotas horizontais
  • Possui uma única assíntota oblíqua y = - x + 2
  • Possui os seguintes intervalos de crescimento e decrescimento: D e s c r e s c e n t e   ;                               x < 0 C r e s c e n t e   ;                           0 < x < 4 D e s c r e s c e n t e   ;             4 < x < 6 D e s c r e s c e n t e   ;                               x > 6

Graficamente, temos:

Resposta

  1. Possui somente assíntota oblíqua: y = - x + 2
  2. Possui pontos de máximo e mínimo em x = 0 e x = 4
  3. O gráfico da função é dado:

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