Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

Passo 1

Pensa comigo: qual a equação de uma esfera de raio 1 e centro na origem?

É essa aqui, ne?!

x 2 + y 2 + z 2 = 1

E agora, como é a equação de uma função de duas variáveis?

Seria uma coisa assim, né?

z = f ( x , y )

Como o enunciado já diz pra gente.

Beleza, mas aí você pode me dizer: oras, mas dá pra isolar o z na equação da esfera e fazer ele ficar no estilo z = f ( x , y ) , igual a uma função de duas variáveis. Então, uma esfera pode ser o gráfico de uma função de duas variáveis, certo?

Calma jovem Padawan! É aí que entra a sutileza do negócio.

E eu vou te explicar o porquê no próximo passo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se isolarmos o z na equação da esfera, ficamos com

z = 1 - x 2 - y 2

Certo?!

NÃAAAO!

Quando a gente passa a raiz pro outro lado, temos que lembrar que ela pode ter dois sinais: ±

Isso significa que a equação certa seria:

z = ± 1 - x 2 - y 2

Passo 3

Beleza, mas onde eu quero chegar com isso?

Eu to tentando te explicar que, embora dê pra gente isolar o z na equação da esfera e deixar ele no formato de uma equação de duas variáveis, uma esfera inteira nunca pode ser o gráfico de uma só função de duas variáveis.

Isso porque ao isolar o z na equação da esfera, temos que o lado direito pode ser tanto positivo, quanto negativo, ou seja, teremos duas funções de duas variáveis pra definir a esfera inteira:

z 1 = f 1 x , y = + 1 - x 2 - y 2

z 2 = f 2 x , y = - 1 - x 2 - y 2

O z 1 define a parte de cima da esfera e o z 2 define a parte de baixo da esfera.

Estamos conversados, então?

Uma superfície esférica inteira nunca pode ser gráfico de uma única função de duas variáveis, porque pra isolar o z na equação da esfera temos que tirar a raiz e raiz quadrada de qualquer coisa pode ser positiva ou negativa.

Resposta

Não.

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