Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Ache e simplifique as funções nos pontos indicados (sem o uso de calculadora).

e) g x ,   y = ∫ x y 1 t   d t nos pontos 4 ,   1 ,   6 ,   3 ,   x ,   1 e ( 1 ,   y )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor da função g x ,   y = ∫ x y 1 t   d t nos pontos 4 ,   1 ,   6 ,   3 ,   x ,   1 e ( 1 ,   y ) .

Como a nossa função é definida por meio de uma integral e x e y se encontram nos seus limites de integração, basta a gente substituir pontos ( x ,   y ) que foram dados nesses limites. Depois calculamos a integral e obtemos o valor da função no ponto.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor da função no ponto x ,   y = ( 4 ,   1 ) . Substituindo isso na função, temos:

g 4 ,   1 = ∫ 4 1 1 t   d t

A integral de 1 / t é igual a logaritmo natural de t . Assim, teremos:

g 4 ,   1 = ln ⁡ t 4 1

Aplicando os limites de integração:

g 4 ,   1 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 4

Mas ln ⁡ 1 = 0 , então, temos:

g 4 ,   1 = - ln ⁡ 4

Passo 3

Da mesma forma, vamos encontrar o valor da função no ponto x ,   y = 6 ,   3 . A integral vai ser a mesma, o que vai mudar são os limites de integração:

g 6 ,   3 = ∫ 6 3 1 t   d t = ln ⁡ t 6 3

Aplicando os limites:

g 6 ,   3 = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 6

Pela propriedade de logaritmo, podemos escrever essa subtração como um quociente na forma:

g 6 ,   3 = ln ⁡ 3 6

Simplificando:

g 6 ,   3 = ln ⁡ 1 2

Passo 4

Vamos fazer o mesmo com o ponto x ,   1 . Substituindo na função:

g x ,   1 = ∫ x 1 1 t   d t = ln ⁡ t x 1

Aplicando os limites:

g x ,   1 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ x

Como ln ⁡ 1 = 0 , vamos ter apenas:

g x ,   1 = - ln ⁡ x

Passo 5

E por fim, para x ,   y = ( 1 ,   y ) , teremos:

f 1 ,   y = ∫ 1 y 1 t   d t = ln ⁡ t 1 y

f 1 ,   y = ln ⁡ y - ln ⁡ 1

f 1 ,   y = ln ⁡ y

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

g 4 ,   1 = - ln ⁡ 4

g 6 ,   3 = ln ⁡ 1 2

g x ,   1 = - ln ⁡ x

f 1 ,   y = ln ⁡ y

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