Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Questão 3 A superfície de um lago é representada por uma região D ⊂ R 2 no plano x y , tal que a profundidade (em metros) sob o ponto correspondente a x , y ∈ R 2 é dada por

f x , y = 300 - 2 x 2 - 3 y 2

(a) Represente graficamente a região D .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos um lago descrito pela região D onde a superfície é dada pela função f x , y = 300 - 2 x 2 - 3 y 2

E nosso objetivo nesse problema é esboçar o gráfico da região D .

Tem ideia como fazemos isso? 👀

Passo 2

Para representar a região do lago, temos que fixar z = 0 e identificar características da equação que podem nos ajudar a obter o gráfico.

Se z = 0 , então f x , y = 300 - 2 x 2 - 3 y 2 = 0

2 x 2 + 3 y 2 = 300

Observar que a equação é da forma x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , onde a 2 = 3 00 2 e b 2 = 3 00 3 .

Isso significa que a forma geral da curva é uma elipse com centro na origem.

Determinar os valores dos semi-eixos da elipse, que são a e b .

a = 3 00 2 = 5 6 e b = 300 3 = 10 .

Desenhar o eixo x e o eixo y no plano cartesiano e marcar o centro da elipse na origem.

Traçar a elipse, utilizando os valores de a e b para determinar a distância dos vértices e dos co-vértices do centro.

Neste caso, os vértices estarão localizados nos pontos ± a ,   0 e os co-vértices nos pontos 0 ,   ± b .

Portanto, podemos definir a superfície do lago como

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

2 x 2 + 3 y 2 = 300

Exercícios de Livros Relacionados

Fazer um esboço de algumas superfícies de nível da função w = x 2 + y 2 + z 2 . O que ocorre com os valores da função ao longo de semi-retas que partem da origem?
Identificar as afirmações verdadeiras:g) Todo ponto de acumulação de um conjunto A pertence a esse conjunto.
10- Considerando a função z = f x ,y = 7 - x 2 + y 2 ,0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 , 25 - x 2 - y 2 ,16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25 b)Identifique a curva de nível que contém o pontoP 0 = ( 1 ,3 ) .
Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensão x , y e z .
Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:o comprimento de uma escada apoiada como na figura 1.35.