Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja F → : U   ⊂ R 3 → R 3 ,   F → x = P x → ,   Q x → ,   R x → ,   x → = x , y , z ∈ U , um campo vetorial de classe C 2 , e seja f : U ⊂ R 3 → R , uma função real de classe C 2 , definidos ao aberto U ⊂ R 3 . Definimos o divergente do campo vetorial F → , designado ∇ ⋅ F → : U ⊂ R 3 → R , e o rotacional do campo vetorial F → , designado ∇ × F → : U ⊂ R 3 → R 3 , por:

∇ ⋅ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z e ∇ × F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Note que ∇ ⋅ F → é uma função real definida no aberto U e que ∇ × F → é um campo vetorial no aberto U .

  1. Verifique que ∇ ⋅ ∇ × F → = 0

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essas definições aqui

∇ × F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

∇ ⋅ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

E pediu para verificarmos essa propriedade aqui

∇ ⋅ ∇ × F → = 0

O divergente do rotacional de um campo é zero.

E agora, como provar? Com as definições dadas, vamos substituir o rotacional do campo ali dentro dos parênteses e depois aplicar o divergente (que é a derivada parcial em cada componente)

E aí com algumas manipulações matemáticas (e um pouco de sorte) vamos encontrar o que se pede!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

O rotacional do campo são essas componentes aqui

∇ × F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Beleza? Lembrando que o divergente é a derivada parcial da componente i ^ na variável x , somado com a derivada parcial da componente j ^ na variável y mais a derivada da componente k ^ na variável z , vamos aplicar isso nessas componentes aí:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z + ∂ ∂ y ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x + ∂ ∂ z ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora nossa missão é derivar essa coisa! Vamos ter derivadas duplas mistas, mas não se apavore!

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z + ∂ ∂ y ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x + ∂ ∂ z ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

= ∂ 2 R ∂ x ∂ y - ∂ 2 Q ∂ x ∂ z + ∂ 2 P ∂ y ∂ z - ∂ 2 R ∂ y ∂ x + ∂ 2 Q ∂ z ∂ x - ∂ 2 P ∂ z ∂ y

E agora, será que isso é zero??

Precisamos lembrar que para uma função ser de classe C 2 , ela precisa ter uma peculiaridade: as derivadas cruzadas devem ser iguais

Isso é

∂ 2 R ∂ x ∂ y = ∂ 2 R ∂ y ∂ x

E isso precisa valer para P ,   Q e R ! Todas as partes da função vetorial! Então temos que aquele divergente ali é zero pois todos os termos se anulam!

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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