Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Questão 3 A superfície de um lago é representada por uma região D ⊂ R 2 no plano x y , tal que a profundidade (em metros) sob o ponto correspondente a x , y ∈ R 2 é dada por

f x , y = 300 - 2 x 2 - 3 y 2

(b) Se um nadador está no ponto 4,9 , em que direção deve nadar para que a profundidade sob ele decresça mais rapidamente?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos um lago que é descrito como a função f x , y = 300 - 2 x 2 - 3 y 2 e há um nadador no ponto 4,9 . Temos que descobrir para qual direção ele deve nadar para que a profundidade sob ele diminua.

Como podemos fazer isso? 🤔

Para descobrir para qual direção o nadador deve ir para a profundidade dada por f x , y ser a maior possível, temos que saber em qual direção a derivada é máxima.

Pra isso, vamos lembrar que o gradiente de uma função em um ponto aponta para onde a taxa de variação é máxima, ou seja

u m a x = ∇ f a , b

Já a direção que a função mais decresce, é justamente a direção contraria à direção que mais cresce, ou seja

u m i n = - ∇ f a , b

Em que u é o vetor direção que estamos procurando.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente de f

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Se f x , y = 300 - 2 x 2 - 3 y 2 , então

∇ f = ∂ 300 - 2 x 2 - 3 y 2 ∂ x , ∂ 300 - 2 x 2 - 3 y 2 ∂ y

Pelo método de derivação polinomial, temos

∇ f = - 4 x , - 6 y

Aplicando o ponto 4,9 , temos que o vetor direção que o nadador deve seguir é dado por

u = - ∇ f 4,9 = - - 4 4 , - 6 9

u = 16,54

Vamos dividir esse vetor pelo seu modulo para encontrar o vetor unitário

u u = 16,54 16 2 + 54 2

u u = 16,54 2 793

u u = 8 793 , 27 793

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

u = 16,54 ou u u = 8 793 , 27 793

Exercícios de Livros Relacionados

Fazer um esboço de algumas superfícies de nível da função w = x 2 + y 2 + z 2 . O que ocorre com os valores da função ao longo de semi-retas que partem da origem?
Identificar as afirmações verdadeiras:g) Todo ponto de acumulação de um conjunto A pertence a esse conjunto.
10- Considerando a função z = f x ,y = 7 - x 2 + y 2 ,0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 , 25 - x 2 - y 2 ,16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25 b)Identifique a curva de nível que contém o pontoP 0 = ( 1 ,3 ) .
Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensão x , y e z .
Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:o comprimento de uma escada apoiada como na figura 1.35.