Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Escreva a equação da reta tangente às curvas y = f ( x ) no ponto especificado. Esboce o gráfico de f ( x ) e da reta tangente.

  1. y = 1 x - 1 ,   n o   p o n t o   - 1 , - 1 2

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafioo!?

O primeiro passo aqui é a gente lembrar da equação da reta tangente!!!

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

Onde x 0 é o ponto de interesse nosso que foi dado no problema!

Então olhando pra equação da reta tangente, o que a gente vai precisar encontrar? Bem, primeiro precisamos calcular y 0 e depois f ' x 0 .

Para calcular y 0 a gente vai precisar pegar nossa f x 0 = y 0 , em outras palavras, uma vez que o enunciado nos deu a função e conhecemos o ponto x 0 desejado, conseguimos calcular tranquilamente o valor de y 0 , certo?

Porém, pra esse caso, o par x 0 , y 0 já foi dado, tendo assim x 0 , y 0 = - 1 , - 1 2

Passo 2

Show!! Agora partiu calcular a derivada da f x 0 e depois substituir o valor de x 0 por 2!

Para essa derivada, vamos precisar lembrar sobre a seguinte propriedade:

d d x 1 x - 1

Aplicando a regra do quociente, temos;

d d x 1 x - 1 = d d x 1 × 1 - x - 1 × d d x x - 1 x - 1 2 = - 1 x - 1 2

Substituindo agora x 0 = - 1

f ' x 0 = - 1 x - 1 2 = - 1 - 1 - 1 2 = - 1 4

Passo 3

Usando a equação da reta:

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

y + 1 2 = - 1 4 x + 1

y + 1 2 = - 1 4 x - 1 4

y = - 1 4 x - 1 2 + 1 4

y = - 1 4 x - 3 4

y = - x - 3 4

4

Passo 4

Para a construção do gráfico de uma reta, podemos conhecer dois pontos e depois ligar os mesmos. Então, por exemplo, um bom ponto pra partirmos é ver qual valor y assumirá quando x = 0 .

y = - 3 4

Logo, temos o par x , y = 0 , - 3 4

Agora quando y = 0 , qual será o valor de x ?

0 = - x - 3

x = - 3

Logo, temos: x , y = ( - 3,0 )

Resposta

y = - x - 3 4

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