Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Encontre uma fórmula para a solução do seguinte problema de valor inicial para a equação livre de Schröedinger:

u t = i u x x , ( x , t ) ∈ ℝ × ( 0 , ∞ )

u ( x , 0 ) = e - x 2 , x ∈ ℝ

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Nós temos que resolver a equação de Schröedinger livre definida como

u t = i u x x , ( x , t ) ∈ ℝ × ( 0 , ∞ )

com a seguinte condição inicial

u ( x , 0 ) = e - x 2 , x ∈ ℝ

Assustador não é? Nem tanto… a equação de Schröedinger é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, se sabe resolver essas, você sabe resolver a que está aqui em cima! Então como é o caminho usual para resolver estes problemas? Separação de variáveis! Bora começar por aí! Vem comigo!

Passo 2

Vamos propor uma solução da forma

u ( x , t ) = ϕ ( x ) ψ ( t )

substituição na equação diferencial, temos que

ϕ ( x ) ∂ ψ ( t ) ∂ t = i ψ ( t ) ∂ 2 ϕ ( x ) ∂ x 2

Separando agora as variáveis

1 i   ψ ( t ) ∂ ψ ( t ) ∂ t = - E = 1 ϕ ( x ) ∂ 2 ϕ ( x ) ∂ x 2

em que E é uma constante com unidade de energia (isso são razões físicas, não importa para a nossa resolução), o sinal negativo é para que sejamos capazes de obter uma solução única. Ótimo! Temos agora uma equação diferencial de primeira ordem e uma equação diferencial de segunda ordem para resolver! Vamos começar a fazer isso! Vem comigo!

Passo 3

O lado esquerdo é a seguinte equação diferencial de primeira ordem

1 i   ψ ( t ) ∂ ψ ( t ) ∂ t = - E

essa é uma equação separável, se integrar em ambos os lados, obterá

l n [ ψ ( t ) ] = - i E   t + C

podendo então isolar a sua função como

ψ ( t ) = K   e - i E t

Vamos lidar agora com o lado direito de nossa equação! Vem comigo!

Passo 4

O lado direito é a equação diferencial de segunda ordem

- E = 1 ϕ ( x ) ∂ 2 ϕ ( x ) ∂ x 2

que pode ser reescrita como

d 2 ϕ ( x ) d x 2 + E ϕ ( x ) = 0

o polinômio característico é da forma

r 2 + E = 0

portanto, temos duas raízes complexas conjugadas r = ± i   E . E, a nossa solução é dada como uma combinação de senos e cossenos da forma

ϕ ( x ) = A   s e n ( E x ) + B   c o s ( E x )

que pode ser escrita utilizando as relações

s e n ( E x ) = e i E x - e - i E x 2 e c o s ( E x ) = e i E x + e - i E x 2

de forma que a solução toma a forma

ϕ ( x ) = A 2 [ e i E x - e - i E x ] + B 2 [ e i E x - e - i E x ]

juntando as exponenciais, temos que a nossa solução tem o formato

ϕ ( x ) = [ A 2 + B 2 ] e i E x + [ B 2 - A 2 ] e - E x = C 1 e i E x + C 2 e - i E x

que é a mesma coisa que o que foi escrito inicialmente, mas em um formato que vai facilitar para nós fazermos alguns argumentos físicos! Saca só!

Passo 5

A solução geral é um produto dos dois resultados que obtivemos anteriormente, temos então que

u ( x , t ) = ϕ ( x ) ψ ( t ) = K 1 e i ( E x - E t ) + K 2 e - i ( E x + E t )

o primeiro termo é uma onda que se propaga para a direita e o segundo termo é uma onda que se propaga para a esquerda. No entanto, para que isso tenha sentido físico, seria necessário que essa onda fosse normalizavel, o que ela não é. Já que a seguinte integral é divergente

| u ( x , t ) | 2 = ∫ - ∞ ∞ u * ( x , t ) u ( x , t ) d x = ∞

É aqui que a nossa condição inicial entra em jogo! Ele funciona como um invólucro para a nossa equação de onda limitando as possibilidades. Usando uma transformada de Fourier para escrever a nossa condição inicial no espaço dos momentos, temos que

u ( k ) = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ d x   u ( x , 0 ) e - i k x

substituindo a nossa função, temos que

u ( k ) = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ d x   e - x 2 e - i k x = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ d x e - ( x 2 + k x )

Essa é uma integral gaussiana que podemos encontrar o resultado em uma tabela, mas antes disso, vamos reescrever o integrando um pouco!

Passo 6

Vamos completar o quadrado naquele expoente, temos que

x 2 + k x + b 2 = ( x + b ) 2

nas quem é b ? Como temo que o primeiro termo é simplesmente x , precisamos que b = k / 2 . Ou seja, para completar o quadrado precisamos somar e subtrair b 2 = k 2 / 4 , temos que a nossa integral se torna

u ( k ) = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ d x e - ( x + k / 2 ) 2 - k 2 / 4 = e - k 2 / 4 2 π ∫ - ∞ ∞ d x   e - ( x + b ) 2

Usando uma tabela para a integral gaussiana, temos que

∫ - ∞ ∞ d x   e - ( x + b ) 2 = π

e, obtemos finalmente, que

u ( k ) = e - k 2 / 4 2

a solução evoluindo no tempo será dada por

u ( k , t ) = K 2 e - k 2 / 4 e - i E t

mas, o nosso problema pede na representação das posições, então temos que fazer a transformada de Fourier inversa como

u ( x , t ) = K 2 ∫ - ∞ ∞ d k   e - k 2 / 4 e - i E t e i k x

Antes de resolver isso, vamos ter que discutir um pouco o formato de nossa constante E . Vamos lá!

Passo 7

A energia E aqui representa a energia cinética clássica, e a equação de Schröedinger escrita está tomando uma normalização na qual ℏ 2 / 2 m = 1 , como temos que

p = ℏ k

e, a energia cinética é dada por

E = p 2 2 m = ℏ 2 k 2 2 m

ou seja, temos que a nossa energia é simplesmente identificada como E = k 2 . Portanto, a nossa integral se torna

u ( x , t ) = K 2 ∫ - ∞ ∞ d k   e - k 2 / 4 e - i k 2 t e i k x = K 2 ∫ - ∞ ∞ d k   e - k 2 ( 1 4 + i t ) e i k x

que também é uma integral Gaussiana, temos que

∫ - ∞ ∞ d k   e - k 2 ( 1 4 + i t ) e i k x = π ( 1 4 + i t ) e ( i x ) 2 / 4 ( 1 4 + i t )

ou seja, temos que a nossa solução é dada por

u ( x , t ) = K π 2 ( 1 4 + i t ) e - x 2 1 + 4 i t

em que K deve ser obtida fazendo a normalização da expressão acima! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = K π 2 ( 1 4 + i t ) e - x 2 1 + 4 i t

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