Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja F → : U   ⊂ R 3 → R 3 ,   F → x = P x → ,   Q x → ,   R x → ,   x → = x , y , z ∈ U , um campo vetorial de classe C 2 , e seja f : U ⊂ R 3 → R , uma função real de classe C 2 , definidos ao aberto U ⊂ R 3 . Definimos o divergente do campo vetorial F → , designado ∇ ⋅ F → : U ⊂ R 3 → R , e o rotacional do campo vetorial F → , designado ∇ × F → : U ⊂ R 3 → R 3 , por:

∇ ⋅ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z e ∇ × F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Note que ∇ ⋅ F → é uma função real definida no aberto U e que ∇ × F → é um campo vetorial no aberto U .

  1. Verifique que ∇ × ∇ f = ( 0,0 , 0 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essas definições aqui

F → = P ,   Q ,   R

∇ × F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

E sabemos que

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

E pediu para verificarmos essa propriedade aqui

∇ × ∇ f = ( 0,0 , 0 )

O divergente do gradiente de um campo escalar é zero.

E agora, como provar? Com as definições dadas, vamos substituir o gradiente ali dentro dos parênteses e depois aplicar o rotacional

E aí com algumas manipulações matemáticas (e um pouco de sorte) vamos encontrar o que se pede!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

O gradiente do campo escalar é

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Então fazemos a seguinte correlação

F → = P ,   Q ,   R = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Para aplicar no rotacional:

∇ × ( ∇ f ) = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z , ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x , ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

#partiu substituir?

∇ × ( ∇ f ) = ∂ ∂ y ∂ f ∂ z - ∂ ∂ z ∂ f ∂ y ,   ∂ ∂ z ∂ f ∂ x - ∂ ∂ x ∂ f ∂ z , ∂ ∂ x ∂ f ∂ y - ∂ ∂ y ∂ f ∂ x  

= ∂ 2 f ∂ y ∂ z - ∂ 2 f ∂ z ∂ y , ∂ 2 f ∂ z ∂ x - ∂ 2 f ∂ x ∂ z ,   ∂ 2 f ∂ x ∂ y - ∂ 2 f ∂ y ∂ x

E agora, será que isso é zero??

Precisamos lembrar que para uma função ser de classe C 2 , ela precisa ter uma peculiaridade: as derivadas cruzadas devem ser iguais

Isso é

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

E isso precisa valer para todas as componentes! Sendo assim, temos que o resultado desse rotacional é o vetor nulo!

∇ × ∇ f = ( 0,0 , 0 )

Tudo bem até aqui?

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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