Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

1) Considere a relação f definida pela equação f x , y , z = z 1 - x 2 - y 2 + ln ⁡ ln ⁡ z

a. Determine e esboce o maior subconjunto D ⊂ R 3 na qual a relação f pode ser uma função real.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada a função f x , y , z = z 1 - x 2 - y 2 + ln ⁡ ln ⁡ z e nosso objetivo é obter o maior subconjunto D em que f seja real.

Lembra como fazemos isso? 🤔

De forma simplificada, o que temos que fazer é definir os valores de x , y e z de modo que f seja uma função real.

Pra isso, temos que analisar a função f e verificar quais as restrições que temos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

A função f é dada por

f x , y , z = z 1 - x 2 - y 2 + ln ⁡ ln ⁡ z

Nesse caso, podemos observar a partir do termo 1 - x 2 - y 2 que o conteúdo dentro da raiz tem que ser maior ou igual a 0 , ou seja

1 - x 2 - y 2 ≥ 0

x 2 + y 2 ≤ 1

Já pelo termo ln ⁡ ln ⁡ z sabemos que ln ⁡ z só existe se z > 0 .

Dessa forma, temos que D pode ser definido como

D = x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ 1 ,   z > 0

Esboçando a região D , temos

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D = x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ 1 ,   z > 0

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10- Considerando a função z = f x ,y = 7 - x 2 + y 2 ,0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 , 25 - x 2 - y 2 ,16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25 b)Identifique a curva de nível que contém o pontoP 0 = ( 1 ,3 ) .
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