Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Questão 3 A superfície de um lago é representada por uma região D ⊂ R 2 no plano x y , tal que a profundidade (em metros) sob o ponto correspondente a x , y ∈ R 2 é dada por

f x , y = 300 - 2 x 2 - 3 y 2

(c) Ainda no ponto 4,9 , qual direção o nadador deve nadar para que a profundidade não mude?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse item, queremos descobrir em qual direção o nadador deve ir para que a profundidade sob ele não mude.

Como vamos obter isso? 🤔

Quando calculamos o gradiente de uma função e aplicamos um ponto nesse gradiente, o resultado é um vetor u que aponta para onde a função tem o maior crescimento possível.

Para obter um outro vetor que aponta para onde o crescimento é 0 , temos que obter um vetor v de modo que o produto interno entre eles é 0 , ou seja, u e v são perpendiculares

u · v = 0

Bora começar! 😁

Passo 2

Anteriormente obtemos que o vetor gradiente de f é dado por

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

∇ f = - 4 x , - 6 y

Portanto, u que é o vetor que aponta para onde a variação de f é maior é dado por

u = ∇ f 4,9 = - 4 4 , - 6 9

u = - 16 , - 54

Agora temos que obter um vetor v perpendicular a u

u · v = 0

- 16 , - 54 · v x , v y = 0

- 16 v x - 54 v y = 0

v x = - 54 16 v y

Logo

v = - 54 16 v y , v y

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Se v é um vetor unitário, temos

v = - 54 16 v y 2 + v y 2 = 1

729 64 v y 2 + v y 2 = 1

79 3 64 v y 2 = 1

793 8 v y = 1

Isolando v y

v y = 8 793

Substituindo em v

v = - 54 16 v y , v y

v = - 54 16 8 793 , 8 793

v = - 27 793 , 8 793

Esse é o vetor que o nadador deve seguir!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

v = - 27 793 , 8 793

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