Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Encontre uma fórmula para a solução do problema de Laplace no semi-plano superior:

u x x + u y y = 0 , ( x , y ) ∈ ℝ × ( 0 , ∞ )

u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   x ∈ ℝ

Passo 1

Eaew, belezinha?

Nós queremos resolver a equação de laplace para o semi-plano superior

u x x + u y y = 0 , ( x , y ) ∈ ℝ × ( 0 , ∞ )

u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   x ∈ ℝ

a maneira mais simples de fazer isso é utilizando transformadas de Fourier definidas como

g ( ω ) = 𝓕 ( f ( x ) ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

e a transformada inversa é tal que

f ( x ) = 𝓕 - 1 ( g ( ω ) ) = ∫ - ∞ ∞ g ( ω ) e i ω x d ω

Vamos tentar usar isso para resolver o nosso problema! Saca só!

Passo 2

Se aplicarmos a transformada de Fourier em toda a equação de Laplace, temos que

𝓕 ( u x x ) + 𝓕 ( u y y ) = 𝓕 ( 0 )

a primeira pode ser escrita como

𝓕 ( u x x ) = ∫ - ∞ ∞ ∂ 2 u ( x , y ) ∂ x 2 e - i ω x d x

a segunda tem a forma

𝓕 ( u y y ) = ∫ - ∞ ∞ ∂ 2 u ( x , y ) ∂ y 2 e - i ω x d x

e, a última é simplesmente

𝓕 ( 0 ) = 0

Obter quem é 𝓕 ( u x x ) vai nos dar um pouco mais de trabalho, então vamos fazer no próximo passo, no entanto, temos que

𝓕 ( u y y ) = ∫ - ∞ ∞ ∂ 2 u ( x , y ) ∂ y 2 e - i ω x d x

é um pouco mais simples. Note que derivada é em y e a integral em x , portanto, temos que isso pode ser reescrito como

𝓕 ( u y y ) = ∂ 2 ∂ y 2 [ ∫ - ∞ ∞ u ( x , y ) e - i ω x d x ]

em que a integral é a transformada de fourier da própria função, usando a notação u ^ ( ω , y ) = 𝓕 ( u ( u , x ) ) , temos que essa transformada é simplesmente

𝓕 ( u y y ) = ∂ 2 u ^ ( ω , y ) ∂ y 2

Vamos resolver a transformada que falta agora!

Passo 3

Para

𝓕 ( u x x ) = ∫ - ∞ ∞ ∂ 2 u ( x , y ) ∂ x 2 e - i ω x d x

vamos precisar manipular um pouco o integrando. Se usarmos que

∂ 2 ∂ x 2 [ u ( x , y ) e - i ω x ] = ∂ ∂ x [ ∂ ∂ x [ u ( x , y ) ] e - i ω x - i ω   u ( x , y ) e - i ω x ]

e, portanto, temos que

�� 2 ∂ x 2 [ u ( x , y ) e - i ω x ] = ∂ 2 u ( x , y ) ∂ x 2 e - i ω x - i ω ∂ u ( x , y ) ∂ x e - i ω x - i ω ∂ u ( x , y ) ∂ x e - i ω x - ω 2 u ( x , y ) e - i ω x

Note que o que temos em nosso integrando é o primeiro termo do lado direito, portanto, juntando os termos iguais, e substituindo em nossa integral, temos que

𝓕 ( u x x ) = ∫ - ∞ ∞ ∂ 2 u ( x , y ) ∂ x 2 e - i ω x d x = ∫ - ∞ ∞ ∂ 2 ∂ x 2 [ u ( x , y ) e - i ω x ] d x + 2 i ω ∫ - ∞ ∞ [ ∂ u ( x , y ) ∂ x e - i ω x ] d x + ω 2 ∫ - ∞ ∞ u ( x , y ) e - i ω x

A primeira integral das três que foram escritas é a integral de uma derivada segunda, que resulta em uma derivada primeira que deve ser avaliada no infinito, para que não hajam divergências em nosso sistema, é fisicamente adequado considerar que sob essas condições essa aplicação se anula. Portanto, nos resta resolver

𝓕 ( u x x ) = 2 i ω ∫ - ∞ ∞ [ ∂ u ( x , y ) ∂ x e - i ω x ] d x + ω 2 ∫ - ∞ ∞ u ( x , y ) e - i ω x

No entanto, essa primeira integral segue o mesmo procedimento, de forma que obtemos

𝓕 ( u x x ) = 2 i ω [ ∫ - ∞ ∞ ∂ ∂ x [ u ( x , y ) e - i ω x ] d x + i ω ∫ - ∞ ∞ u ( x , y ) e - ω x d x ] + ω 2 ∫ - ∞ ∞ u ( x , y ) e - i ω x

Novamente a integral da derivada pode ser anulada, nos restando apenas

𝓕 ( u x x ) = - 2 ω 2 ∫ - ∞ ∞ u ( x , y ) e - ω x d x ] + ω 2 ∫ - ∞ ∞ u ( x , y ) e - i ω x = - ω 2 ∫ - ∞ ∞ u ( x , y ) e - i ω x

ou simplesmente

𝓕 ( u x x ) = i ω 2 u ^ ( ω , y )

Vamos voltar agora para a equação de Laplace!

Passo 4

Usando nossos resultados, a equação de laplace se torna

- ω 2 u ^ ( ω , y ) + u ^ ' ' ( ω , y ) = 0

as linhas representam derivadas em y . Ou seja, temos uma equação diferencial de segunda ordem em y da seguinte forma

u ^ ' ' ( ω , y ) = ω 2 u ^ ( ω , y )

essa expressão é válida para qualquer função da forma

u ^ ( ω , y ) = A e ω y + B e - ω y

Vamos avaliar a condição inicial dada!

Passo 5

A transformada de Fourier de nossa condição inicial é da forma

u ^ ( ω , 0 ) = g ( ω )

em que

g ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

De forma que aplicada a nossa solução, temos que

u ^ ( ω , 0 ) = A + B = g ( ω )

e, podemos escrever a nossa solução em termos de apenas uma constante

u ^ ( ω , y ) = A e ω y + [ g ( ω ) - A ] e - ω y = A [ e ω y - e - ω y ] + g ( ω ) e - ω y

Ótimo! Temos a inversa de nossa solução! Mas a solução que desejamos realmente é dada na representação de x , portanto, precisamos calcular a transformada inversa!

Passo 6

Usando a definição de transformada inversa, temos que

u ( x , y ) = A ∫ - ∞ ∞ [ e ω y - e - ω y ] e i ω x d ω + ∫ - ∞ ∞ g ( ω ) e - ω y e i ω x d ω

podemos usar também que

s e n h ( ω y ) = e ω y - e - ω y 2

e escrever

u ( x , y ) = 2 A ∫ - ∞ ∞ s e n h ( ω y ) e i ω x d ω + ∫ - ∞ ∞ g ( ω ) e - ω y e i ω x d ω

Para encontrar a constante A seria necessária mais uma condição de contorno, o que não foi dado. E, sabendo quem é f ( x ) a expressão acima pode ser diretamente calculada! Então, a questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , y ) = 2 A ∫ - ∞ ∞ s e n h ( ω y ) e i ω x d ω + ∫ - ∞ ∞ g ( ω ) e - ω y e i ω x d ω

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