Exercícios Resolvidos de Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Encontre os valores extremos de f x ,   y ,   z = x z + y z sobre a curva de interseção do cilindro circular reto y 2 + z 2 = 1 com o cilindro hiperbólico x z = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar os valores extremos (máximos e mínimos) da função f ( x ,   y ,   z ) que pertence a curva de interseção da função g x ,   y ,   z = y 2 + z 2 = 1 com a função h x ,   y ,   z = x z = 1 .

Galera, quando nós temos que encontrar os valores máximos e mínimos de uma função f sujeita a duas restrições como essa, g x ,   y ,   z = k e h x ,   y ,   z = c , nós podemos usar os chamados multiplicadores de Lagrange λ e μ tais que:

∇ f x 0 ,   y 0 ,   z 0 = λ ∇ g x 0 ,   y 0 ,   z 0 + μ ∇ h x 0 ,   y 0 ,   z 0

Nesse caso o método de Lagrange nos leva a procurar por valores extremos ao resolver cinco equações nas cinco incógnitas x , y , z , λ e μ . Essas equações são obtidas ao escrever a equação acima em termos de seus componentes e ao utilizar as equações de restrição:

f x = λ g x + μ h x

f y = �� g y + μ h y

f z = λ g z + μ h z

g x ,   y ,   z = k  

h x ,   y ,   z = c

Então, vamos calcular essas derivadas parciais e encontrar os valores das cinco incógnitas para definir os valores extremos de f substituindo os valores encontrados na função.

Passo 2

Montando as equações da condição de Lagrange com as derivadas parciais de f ( x ,   y ,   z ) , g ( x ,   y ,   z ) e h ( x ,   y ,   z ) , temos:

z = λ ∙ 0 + μ z

z = λ 2 y + μ ∙ 0

x + y = λ ( 2 z ) + μ x

y 2 + z 2 = 1  

x z = 1

Da primeira equação, temos z = μ z → μ = 1 . Da segunda equação:

z = 2 λ y → λ = z 2 y

Além disso, temos na equação de restrição:

x z = 1 → x = 1 z

Substituindo tudo isso na terceira equação:

x + y = 2 λ z + μ x

1 z + y = 2 z 2 y z + 1 ∙ 1 z

y = z 2 y

Assim, encontramos:

y 2 = z 2

Substituindo na equação de restrição y 2 + z 2 = 1 , temos:

2 y 2 = 1 → y 2 = 1 2 → y = ± 1 2

Como z 2 = y 2 → z = y e temos também:

z = ± 1 2

Como x = 1 z , ficamos com x = ± 2 .

Passo 3

Agora que descobrimos os valores de x ,   y e z vamos substituir na função f para descobrir os pontos críticos correspondentes:

f x ,   y ,   z = x z + y z

f x ,   y ,   z = ± 2 ± 1 2 + ± 1 2 ± 1 2

Simplificando, temos:

f x ,   y ,   z = ± 1 ± 1 2

Então, nossos candidatos a extremos serão quatro:

f x ,   y ,   z = 1 + 1 2 = 3 2

f x ,   y ,   z = 1 - 1 2 = 1 2

f x ,   y ,   z = - 1 + 1 2 = - 1 2

f x ,   y ,   z = - 1 - 1 2 = - 3 2

Portanto, o valor máximo de f na curva dada é 3 2 e o valor mínimo - 3 2 .

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

f - 2 ,   - 1 2   ,   - 1 2   = f 2 ,   1 2   ,   1 2   = 3 2 → m á x i m o

f - 2 ,   - 1 2   ,   1 2   = f 2 ,   1 2   ,   - 1 2   = - 3 2 → m í n i m o

Exercícios de Livros Relacionados

Fazer um esboço de algumas superfícies de nível da função w = x 2 + y 2 + z 2 . O que ocorre com os valores da função ao longo de semi-retas que partem da origem?
Identificar as afirmações verdadeiras:g) Todo ponto de acumulação de um conjunto A pertence a esse conjunto.
10- Considerando a função z = f x ,y = 7 - x 2 + y 2 ,0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 , 25 - x 2 - y 2 ,16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25 b)Identifique a curva de nível que contém o pontoP 0 = ( 1 ,3 ) .
Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensão x , y e z .
Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:o comprimento de uma escada apoiada como na figura 1.35.