Exercícios Resolvidos de Introdução aos Campos Vetoriais

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2001, pp. 20-1d,e.

Calcule o rotacional:

  1. F x , y , z = - y   i + x   j + z   k
  2. F x , y , z = x   i + y   j + x z   k
  3. F x , y , z = y z   i + x z   j + x y   k
  4. F x , y = x 2 + y 2   i
  5. F x , y = x y   i - x 2   j

Passo 1

a)

Na teoria, a gente viu que o rotacional é cálculado a partir de:

r o t   F = × F

Ou seja, o produto vetorial do operador com o campo vetorial. Onde, pra quem não lembra:

  = ( x , y , z )

Então, vamos ter algo assim:

i j k x y z F 1 F 2 F 3 = F 3 y - F 2 z i - F 3 x - F 1 z j + F 2 x - F 1 y k

Trabalho braçal, galera! Vamos as contas!

F 3 y - F 2 z i - F 3 x - F 1 z j + F 2 x - F 1 y k

= 0 - 0 i - 0 - 0 j + 1 - - 1 k = ( 0,0 , 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

De novo, a mesma fórmula do item a):

r o t   F = × F

E calculamos o produto vetorial:

i j k x y z F 1 F 2 F 3 = F 3 y - F 2 z i - F 3 x - F 1 z j + F 2 x - F 1 y k

= 0 - 0 i - z - 0 j + 0 - 0 k = ( 0 , - z , 0 )

Passo 3

c)

E mais uma vez, fazemos:

r o t   F = × F = i j k x y z F 1 F 2 F 3

= x y y - x z z i - x y x - y z z j + x z x - y z y k

x - x i - y - y j + z - z k = ( 0,0 , 0 )

Sem mistério, né? Mas ainda faltam duas, não vamos perder o ânimo não!

Passo 4

d)

O campo aqui é bidimensional, então vou usar aquele segredo que te contei na teoria

× F = F 2 x - F 1 y k ^ = 0 x - x 2 + y 2 y k ^ = - 2 y k ^

Não esquece que o rotacional é um vetor, então tem que colocar aquele k ^ para não tomar errado na questão.

Passo 5

e)

Por último, finalmente, temos mais um campo bidimensional:

r o t   F = × F = x , y × x y , - x 2 = - x 2 x - x y y   k = ( 0,0 , - 3 x )

Ufa, quanta conta! Mas nada que não deu pra fazer, né?

Resposta

  1. ( 0,0 , 2 )
  2. ( 0 , - z , 0 )
  3. ( 0,0 , 0 )
  4. ( 0,0 , - 2 y )
  5. ( 0,0 , - 3 x )

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