Exercícios Resolvidos de Introdução aos Campos Vetoriais

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2001, pp. 203-6.

Seja

F x , y = x x 2 + y 2 α   i + y x 2 + y 2 α   j

Determine α para que F seja solenoidal. Desenhe o campo para o α determinado.

Passo 1

Como vimos na teoria, um campo vetorial é chamada de solenoidal se seu divergente vale 0 .

Ou seja:

d i v   F = F = F 1 x + F 2 y = 0

Então, é só calcular o produto escalar e resolver a equação para encontrarmos α .

Então vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais:

F 1 x = x x 2 + y 2 α x   e   F 2 y = y x 2 + y 2 α y  

Que parecem bem bizarras, mas saem pela regra do quociente, certo?

x x 2 + y 2 α x = 1 x 2 + y 2 α - x 2 x α x 2 + y 2 α - 1 x 2 + y 2 α 2

= x 2 + y 2 α - 1 x 2 + y 2 - 2 α x 2 x 2 + y 2 2 α = x 2 + y 2 - 2 α x 2 x 2 + y 2 α + 1

Um algebrismo meio chato, mas por sorte, podemos repetí-lo para F 2 y , é só substituir o que é x por y e vice-versa. Aí temos:

y x 2 + y 2 α y = x 2 + y 2 - 2 α y 2 x 2 + y 2 α + 1

Passo 3

Agora é somar e ver no que dá:

F 1 x + F 2 y = x 2 + y 2 - 2 α x 2 x 2 + y 2 α + 1 + x 2 + y 2 - 2 α y 2 x 2 + y 2 α + 1 = 2 x 2 + y 2 - 2 α x 2 + y 2 x 2 + y 2 α + 1

= 2 1 - α x 2 + y 2 α = 0 1 - α = 0 α = 1

Tudo isso pra dar 1 no final, que raiva, né? haha

Resposta

1

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