Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Passo 1

Vamos encontrar a outra equação da solução homogênea, ou seja, y 2 ( x ) para isso, vamos supor que:

y 2 = f y 1 = f x

Calculando as derivadas de y 2 para que possamos substituir na equação homogênea, temos:

y 2 ' x = f + x f ' x

y 2 ' ' x = 2 f ' x + x f ' ' x

Substituindo isso na EDO:

x 2 + 1 x f ' ' + 2 f ' - 2 x x f ' + f + 2 f x = 0

Assim, temos:

x 2 + 1 x f ' ' + 2 f ' = 0

Agora vamos resolver essa equação pelo método de separação de variáveis, então:

f ' ' f ' = - 2 x 2 + 1 x =   - 2 x + 2 x x 2 + 1

Integrando:

ln ⁡ f ' = ∫ - 2 x + 2 x x 2 + 1 d x =   - 2 ln ⁡ x + ln ⁡ x 2 + 1

Entao:

f ' = 1 + 1 x 2

Integrando novamente:

f = x - 1 x

Assim, como y 2 = f y 1 podemos escrever:

y 2 = x 2 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos utilizar o método da variação de parâmetros para encontrar a solução da homogênea, ok?

Primeiro vamos escrever a equação particular:

y p = u 1 x + u 2 ( x 2 - 1 )

Aplicando o método da variação de parâmetros:

y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' u 1 ' u 2 '   = 0 x 2 + 1 x + 1  

Então, substituindo os valores de y 1 e y 2 , temos:

x x 2 - 1 1 2 x u 1 ' u 2 '   = 0 x 2 + 1 x + 1  

Vixi esse sistema temos que resolver pelo método de cramer, então vamos lá

Passo 3

Vamos lá devemos aplicar a regra de cramer, então temos:

u 1 ' = 0 x 2 - 1 x 2 + 1 x + 1 2 x x x 2 - 1 1 2 x = - x 2 - 1 x 2 + 1 x 2 + 1 x + 1 =   1 - x

u 2 ' = x 0 1 x 2 + 1 x + 1 x x 2 - 1 1 2 x = x ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 x + 1 =   x x + 1 = 1 - 1 x + 1

Devemos agora integrar para encontrarmos o valor de u 1 e u 2 assim:

u 1 = ∫ 1 - x d x = x - x 2 2

De forma análoga para u 2 :

u 2 = ∫ 1 - 1 x + 1 d x = x - ln ⁡ ( x + 1 )  

Assim a solução e a soma da particular com a homogênea:

y = C 1 x + C 2 x 2 - 1 + x - x 2 2 x - ln ⁡ ( x + 1 )

Resposta

y = c 1 x + c 2 x 2 - 1 + x - x 2 2 x - ln ⁡ ( x + 1 )

c 1 ,   c 2 ∈ R

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