Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2013, Questão 1

Determine a solução geral da equação

4 y ' ' - 4 y ' + y = x 2 + x + e x ln x

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.

A EDO homogênea equivalente vai ser

4 y ' ' - 4 y ' + y = 0

Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO

4 r 2 - 4 r + 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver essa equação de 2 grau é tranquilinho né?

Vamos começar achando Δ

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 4 2 - 4.4 . 1

Δ = 16 - 16

Δ = 0

Agora vamos achar as raízes

r = - - 4 ± 0 2.4 = 4 8 = 1 2

Passo 3

Agora que temos a raiz e vimos que é o caso de raiz única a solução vai ser

y h = C 1 e r x + C 2 t e r x

Trocando o valor de r

y h = C 1 e x / 2 + C 2 x e x / 2

Passo 4

Agora temos que achar a solução da EDO

4 y ' ' - 4 y ' + y = x 2 + x + e x ln x

Lembrando que a solução vai ser

y = y h + y p

Onde y h é a solução da homogênea associada e y p é a solução da particular.

Antes de tentarmos resolver qualquer coisa, vamos arrumar aquela raiz louca que está no exponencial. Temos

e x = e x 1 / 2 = e x / 2

E a nossa EDO vai ficar

4 y ' ' - 4 y ' + y = x 2 + x + e x / 2 ln x

A solução da homogênea já temos, vamos agora para a particular, para isso vamos usar o método da variação de parâmetros junto com o método dos coeficientes a determinar, como isso?

Vamos ter

y p = y p 1 + y p 2

Onde y p 1 vai ser a solução particular em relação a x 2 + x e y p 2 vai ser a solução particular em relação a e x / 2 ln x . Podemos separa as soluções particulares em partes e ir achando aos poucos, normalmente fazemos tudo junto, mas como temos um polinômio ali que é de boa de fazer dessa forma que isso vai diminuir nossas contas.

Vamos começar com y p 1

Passo 5

Queremos y p 1 , que vai ser relativo ao polinômio, então a nossa EDO desse cara vai ser

4 y ' ' - 4 y ' + y = x 2 + x

E a nossa solução particular vai ser

y p 1 = A x 2 + B x + C

y p 1 ' = 2 A x + B

y p 1 ' ' = 2 A

Substituindo na EDO

4 2 A - 4 2 A x + B + A x 2 + B x + C = x 2 + x

8 A - 8 A x - 4 B + A x 2 + B x + C = x 2 + x

Isso nos diz que

A = 1

- 8 A + B = 1

8 A - 4 B + C = 0

Assim vamos ter

A = 1

B = 1 + 8 A = 1 + 8 = 9

C = 4 B - 8 A = 4.9 - 8.1 = 36 - 8 = 28

Então

y p 1 = x 2 + 9 x + 28

Passo 6

Vamos para y p 2 , que vai ser relativo a

4 y ' ' - 4 y ' + y = e x / 2 ln x

Nesse caso vamos ao método da variação de parâmetros. Mas aqui temos que ficar atentos a um detalhe, a equação normalmente tem y ' ' e não 4 y ' ' então vamos dividir todo mundo por 4 , isso não vai mudar a solução da homogênea hein.

y ' ' - y ' + y 4 = e x / 2 ln x 4

Temos que achar

y p 2 = f 1 y 1 + f 2 y 2

Já temos y 1 e y 2 da homogênea, que vão ser

y 1 = e x / 2

y 2 = x e x / 2

Onde

f 1 ' x = y 2 x B x M

E

f 2 ' x = - y 1 x B x M

Onde B x é aquela função do lado direito da EDO, e M vai ser

M = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1

Vamos achar aqui rapidinho M e B x porque vamos usar para achar f 1 e f 2

B x = e x / 2 ln x 4

E

M = e x / 2 ' x e x / 2 - x e x / 2 ' e x / 2

M = e x / 2 2 x e x / 2 - e x / 2 + x e x / 2 2 e x / 2

Como e x / 2 e x / 2 = e x por propriedade de potenciação...

M = x e x 2 - e x - x e x 2

M = - e x

Passo 7

Vamos começar achando f 1

f 1 ' x = x e x / 2 e x / 2 ln x 4 - e x    

f 1 ' x = - x e x / 2 e x / 2 ln x 4 e x    

f 1 ' x = - x e x ln x 4 e x    

f 1 ' x = - x ln x 4

Vamos ter

f 1 x = - 1 4 x ln x d x

Passo 8

Vamos resolver essa integral

x ln x d x

Vamos fazer por partes

u = ln x d u = d x x

d v = x d x v = x 2 2

E vamos ter

x ln x d x = x 2 ln x 2 - x 2 2 d x x = x 2 ln x 2 - 1 2 x d x = x 2 ln x 2 - x 2 4

Passo 9

A nossa função f 1 vai ser

f 1 x = - 1 4 x 2 ln x 2 - x 2 4

f 1 x = - x 2 ln x 8 + x 2 16

Vamos agora a f 2

f 2 ' x = - e x / 2 e x / 2 ln x 4 - e 2 x

f 2 ' x = ln x 4

Então

f 2 x = 1 4 ln x d x

Passo 10

Vamos resolver essa integral

ln x d x

Vamos fazer por partes

u = ln x d u = d x x

d v = d x v = x

E vamos ter

ln x d x = x ln x - x d x x = x ln x - d x = x ln x - x

Passo 11

Assim vamos ter

f 2 x = 1 4 x ln x - x

f 2 x = x ln x 4 - x 4

A nossa solução particular vai ser

y p 2 = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p 2 = - x 2 ln x 8 + x 2 16 e x / 2 + x ln x 4 - x 4 x e x / 2

y p 2 = - x 2 e x / 2 ln x 8 + x 2 e x / 2 16 + x 2 e x / 2 ln x 4 - x 2 e x / 2 4

y p 2 = - 3 x 2 e x / 2 16 + x 2 e x / 2 ln x 8

E a solução particular vai ser

y p = y p 1 + y p 2

y p = x 2 + 9 x + 28 - 3 x 2 e x / 2 16 + x 2 e x / 2 ln x 8

E a solução geral vai ser

y = y h + y p

y = C 1 e x / 2 + C 2 x e x / 2 + x 2 + 9 x + 28 - 3 x 2 e x / 2 16 + x 2 e x / 2 ln x 8

Resposta

y = C 1 e x / 2 + C 2 x e x / 2 + x 2 + 9 x + 28 - 3 x 2 e x / 2 16 + x 2 e x / 2 ln x 8

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