Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

(a) Determine a solução geral da equação

9 y ' ' + 18 y ' + 18 y = e - x tan ⁡ ( x )

(b) Determine a solução do problema de valor inicial

cos ⁡ x + e x y ' = 0 y 0 = 0

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão ta pedindo pra gente achar a solução geral. Show, só que tem um detalhe: a solução geral é a soma da solução homogênea com a solução particular.

y x = y h x + y p ( x )

Então, vamos começar calculando a solução homogênea dessa equação. Como a gente faz isso? Primeiro considera a equação homogênea (é o mesmo que dizer, “iguala a zero”)

9 y ' ' + 18 y ' + 18 y = 0

Agora vamos encontrar a equação característica:

9 r 2 + 18 r + 18 = 0

Podemos simplificar dividindo todo mundo por 9 para deixar as contas mais simples, aí vai ficar:

r 2 + 2 r + 2 = 0

Beleza, agora temos que descobrir as raízes da nossa equação característica:

r = - 2 ± 2 2 - 4.2 . 1 2       →             r 1 = - 1 + i                   r 2 = - 1 - i

y h = c 1 e - x cos ⁡ x + c 2 e - x sen ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, agora a gente já sabe qual é a solução homogênea. Partiu descobrir a solução particular?

Vamos dar uma olhada na f x = e - x tan ⁡ ( x ) . Quando aparece tangente, a gente logo busca a solução particular com o Método da Variação de Parâmetros.Eitaaa, mas como fica isso?

Primeiro, vamos considerar a soluções fundamentais da homogênea...

y 1 ( x ) = e - x cos ⁡ x e y 2 ( x ) = e - x sen ⁡ x

E aí, a solução particular vai ficar com essa carinha:

y p = f 1   y 1 x + f 2   y 2 ( x )

Onde...

f 1 = ∫ y 2 x B x W d x      

f 2 = ∫ - y 1 x B x W d x

Na nossa equção, o B ( x ) que é a função que causa a não homogeneidade da função, ou seja, que não deixa a EDO ser igual a zero, vale:

B X = e - x tan ⁡ ( x )

Já o Wronskiano, chamado apenas de W para os íntimos, vale:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' →  

W = e - x cos ⁡ x e - x sen ⁡ x - e - x ( sen ⁡ x + cos ⁡ x ) e - x ( cos ⁡ x - sen ⁡ x ) →  

W = e - 2 x cos 2 ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ x - - e - 2 x sen 2 ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x →  

W = e - 2 x ( cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x )

Como cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1 , então vamos ter:

W = e - 2 x

Agora que a gente já sabe o nosso amigo W , vamos calcular f 1 x e f 2 ( x ) :

f 1 = ∫ y 2 x B x W d x = ∫ e - x sen ⁡ ( x ) e - x tan ⁡ x e - 2 x d x →

f 1 = ∫ e - 2 x sen ⁡ x tan ⁡ x e - 2 x d x = ∫ sen ⁡ ( x ) tan ⁡ ( x )   d x

Ficamos com:

f 1 = ln ⁡ | tan ⁡ x + sec ⁡ x | - sen ⁡ ( x )

Já a f 2 vai ficar:

f 2 = ∫ - y 1 x B x W d x = ∫ - e - x cos ⁡ ( x ) e - x tan ⁡ x e - 2 x d x

f 2 = ∫ - e - 2 x cos ⁡ x tan ⁡ x e - 2 x d x = ∫ - sen ⁡ x d x

f 2 = cos ⁡ x

Então, a solução particular vai ficar:

y p = f 1   y 1 x + f 2   y 2 ( x )

y p = ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x - sen ⁡ x e - x cos ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) e - x sen ⁡ ( x )

y p = e - x cos ⁡ ( x ) ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x - e - x cos ⁡ x sen ⁡ x + e - x cos ⁡ x s e n ⁡ ( x )

y p = e - x cos ⁡ ( x ) ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

Prontinho, descobrimos a solução homogênea e a solução particular. Agora é só somar as duas para descobrirmos a solução geral.

y x = y h x + y p ( x )

y x =   c 1 e - x cos ⁡ x + c 2 e - x sen ⁡ x + e - x cos ⁡ ( x ) ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

Item (a) resolvido, agora vamos ao item (b).

Passo 3

No item (b), o problema quer que a gente ache a solução do valor inicial:

cos ⁡ x + e x y ' = 0 y 0 = 0

Bom, a gente já sabe como é a nossa função y ( x ) , então vamos ver como ela vai ficar nessas condições. Vamos começar com a segunda? Porque a gente não precisa derivar nada, é só substituir o x por zero. Aí vai ficar assim:

y 0 =   c 1 e 0 cos ⁡ 0 + c 2 e 0 sen ⁡ 0 + e 0 cos ⁡ ( 0 ) ln ⁡ tan ⁡ 0 + sec ⁡ 0 = 0

Como:

sen ⁡ 0 = 0 ,         tan ⁡ 0 = 0         e           cos ⁡ 0 = 1

O que vai restar na nossa expressão é:

y 0 = c 1 = 0

Então,

y x = e - x ( c 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x )

Beleza, agora já sabemos que a constante c 1 = 0 , vamos usar a segunda condição. Para isso, vamos precisar derivar y ( x )

y ' x = - e - x c 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x + e - x ( c 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x + cos ⁡ x sec ⁡ ( x ) )

Então, substituindo essa derivada na primeira condição, teremos:

cos ⁡ ( x ) + c 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x - sen ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x + 1 = 0

Agora, poderemos isolar c 2 :

c 2 = sen ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x - cos ⁡ x - 1 cos ⁡ ( x ) - sen ⁡ ( x )

Ufa!!Finalmente, aplicando o valor inicial a solução ficará:

y x = e - x ( c 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x )

Onde:

c 2 = sen ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x - cos ⁡ x - 1 cos ⁡ ( x ) - sen ⁡ ( x )

Resposta

(a) y x =   c 1 e - x cos ⁡ x + c 2 e - x sen ⁡ x + e - x cos ⁡ ( x ) ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

(b) y x = e - x ( c 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x )

Onde:

c 2 = sen ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x - cos ⁡ x - 1 cos ⁡ ( x ) - sen ⁡ ( x )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas