Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Encontre todas as soluções da EDO:

y ' ' - 2 y ' + y = e x 1 + x 2

Passo 1

Ok, vamos lá. Temos uma EDO de 2ª ordem não homogênea aqui, pois aparece a derivada de segunda ordem e temos funções de x soltas aí. Assim, teremos que a solução do problema será dada pela combinação da parte homogênea com a parte particular: y x = y h x + y p x

Vamos começar encontrando a solução da parte homogênea.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para isso, tiramos a EDO homogênea equivalente:

y ' ' - 2 y ' + y = 0

Feito isso, encontramos a equação característica: r 2 - 2 r + 1 = 0

Repare que essa é uma equação na forma: r 2 - 2 a r + a 2 = r - a 2 = 0

Com a = 1 , assim temos um quadrado perfeito do tipo: r 2 + 2 r + 1 = r - 1 2

Beleza, então teremos duas raízes reais idênticas: r 1 = r 2 = 1

Como as raízes são iguais, colocamos um x multiplicando uma das exponencias da solução homogênea.

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x

y h x = c 1 e x + c 2 x e x

Passo 3

Legal, a solução homogênea já foi, agora vamos olhar para parte particular. Aqui as coisas mudam bastante de figura, não temos um polinômio, exponencial ou função trigonométrica solta aqui para trabalhar. Por isso, vamos usar o método da variação de parâmetros. Vem com a gente!

Começamos escrevendo nossa solução homogênea na forma: y h x = c 1 y 1 + c 2 y 2

Comparando com a solução homogênea que encontramos no passo anterior, temos: y 1 = e x y 2 = x e x

Ok, feito isso, a nossa solução particular será dada por:

y p x = f 1 x y 1 + f 2 x y 2

Em que:

f 1 x = ∫ y 2 x B x M d x

f 2 x = - ∫ y 1 x B x M d x

Sendo B x é a função da parte não-homogênea:

B x = e x 1 + x 2

E M é o determinante da matriz: M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

Legal, vamos começar determinando esse determinante (trocadilho ruim), para isso, derivamos: y 1 ' = e x ' = e x

y 2 ' = x e x ' = e x + x e x = e x 1 + x

Portanto, teremos: M = e x e x 1 + x e x x e x = x e 2 x - e 2 x 1 + x = - e 2 x

Passo 4

Encontramos o determinante, agora vamos para as integrais, começamos com: f 1 x = ∫ y 2 x B x M d x  

Substituindo os valores:

f 1 x = ∫ x e x ⋅ e x 1 + x 2 - e 2 x d x = - ∫ x 1 + x 2 d x

Temos uma função 1 + x 2 e sua derivada a menos de uma constante aparecendo x , então podemos usar a substituição simples aqui:

u = 1 + x 2

d u = 2 x d x ⟹ x d x = 1 2 d u

Portanto:

f 1 x = - 1 2 ∫ d u u = - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2

Passo 5

Agora vamos para f 2 x :

f 2 x = - ∫ y 1 x B x M d x = ∫ 1 1 + x 2 d x = arctg ⁡ x

Assim, vamos ter: y p x = f 1 x y 1 + f 2 x y 2

y p x = - 1 2 e x ln ⁡ 1 + x 2 + x e x arctg ⁡ x

Passo 6

Agora que encontramos tudo, substituímos na solução geral:

y x = y h x + y p x

y x = c 1 e x + c 2 x e x - 1 2 e x ln ⁡ 1 + x 2 + x e x arctg ⁡ x

E é isso aí! 😊😊😊

Resposta

y x = c 1 e x + c 2 x e x - 1 2 e x ln ⁡ 1 + x 2 + x e x arctg ⁡ x

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas