Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Encontre a solução geral da equação linear não homogênea abaixo

x 2 y ' ' + x y ' - y = ln ⁡ x ,     x > 0 ,

sabendo que a solução geral da equação homogênea associada é y h = c 1 x - 1 + c 2 x .

Passo 1

Bem, o enunciado já deu para gente a solução homogênea y h e a a solução geral vai ser dada por

y x = y h x + y p x

Em que y p x é a solução particular. Nosso trabalho aqui será determinar essa solução particular aí. Bem, a parte não homogênea ln ⁡ x não é da forma convencional com uma função exponencial, polinomial ou trigonométrica.

Portanto, para resolver, precisaremos usar o método da variação de parâmetros. Para solução homogênea

  y h = c 1 x - 1 + c 2 x = c 1 y 1 + c 2 y 2

Vamos ter:

y p = f 1 x y 1 + f 2 y 2

Com

f 1 x = ∫ y 2 B x M d x

f 2 x = - ∫ y 1 B x M d x

Sendo B x = ln ⁡ x x 2 a parte não homogênea e M o determinante:

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então calcular tudo isso. Começamos com:

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = - x - 2 1 x - 1 x = - x - 2 ⋅ x - 1 ⋅ x - 1 = - x - 1 - x - 1 = - 2 x - 1

Passo 3

Agora, vamos para f 1 x :

f 1 x = ∫ y 2 B x M d x = ∫ x ⋅ ln ⁡ x - 2 x - 1 x 2 d x = - 1 2 ∫ ln ⁡ x d x

Para calcular essa integral, vamos ter que usar a integração por partes:

u = ln ⁡ x v = x d u = 1 x d x d v = d x

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ d x

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - x

Então f 1 x vai ficar:

f 1 x = - 1 2 ∫ ln ⁡ x d x = x - x ln ⁡ x 2

Passo 4

Vamos agora para f 2 x :

f 2 x = - ∫ y 1 B x M d x

f 2 x = - ∫ x - 1 ln ⁡ x - 2 x - 1 x 2 d x = 1 2 ∫ ln ⁡ x x 2 d x

Para essa integral, usamos a integral por partes também:

u = ln ⁡ x v = - 1 x d u = 1 x d x d v = 1 x 2 d x

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ x x + ∫ 1 x 2 d x = - ln ⁡ x x - 1 x = - 1 x ln ⁡ x + 1

Beleza, então:

f 2 x = - 1 2 x ln ⁡ x + 1

Passo 5

Quase lá, hein! Substituímos agora:

y p = f 1 x y 1 + f 2 y 2

y p = x - x ln ⁡ x 2 ⋅ 1 x + - 1 2 x ln ⁡ x + 1 ⋅ x

y p = 1 - ln ⁡ x 2 + - 1 2 ln ⁡ x + 1

Vamos melhorar isso aí:

y p = 1 - ln ⁡ x - ln ⁡ x - 1 2

y p = - 2 ln ⁡ x 2

y p = - ln ⁡ x

Assim, a solução final vai ser:

y x = y h x + y p x

y x = c 1 x - 1 + c 2 x - ln ⁡ x

E é isso. 😊

Resposta

y x = c 1 x - 1 + c 2 x - ln ⁡ x

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