Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Passo 1

Primeiro vamos identificar a solução da equação homogênea, então, temos:

y ' ' - y = 0

A equação característica é:

r 2 - 1 = 0

Assim, temos que a solução da homogênea é:

y h x = c 1 e - x + c 2 e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Identificando y 1 ( x ) e y 2 ( x ) , temos:

y 1 x = e - x y 2 x = e x

Assim, a equação particular é da forma:

y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 ( x )

y p x = f 1 x . e - x + f 2 x . e x

Passo 3

Vamos agora calcular o wronskiano, mas antes devemos calcular y 1 ' x e y 2 ' x , assim:

y 1 ' x = - e - x y 2 ' x = e x Assim, temos que o wronskiano é:

W ( x ) = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x

Então:

W x = - e - x ⋅ e x - e x ⋅ e - x =   - 2

Passo 4

Assim, temos que as funções podem ser escritas como:

f 1 ' x = y 2 x . B x W = e x x - 2 = - e x 2 x

f 2 ' x = - y 1 x . B x W = - e - x x - 2 = e - x 2 x

Calculando f 1

d f 1 d x = - e x 2 x f 1 ( x ) = ∫ - e x 2 x d x

Calculando f 2

d f 2 d x = e - x 2 x

f 2 ( x ) = ∫ e - x 2 x d x

Assim, temos que a solução particular é:

y p x = f 1 x . e - x + f 2 x . e x

Como já achamos f 1 e f 2 :

y p x = - e - x 2 ∫ e x x d x + e x 2 ∫ e - x x d x

Assim:

y x = y p x + y h x y x = - e - x 2 ∫ e x x d x + e x 2 ∫ e - x x d x + c 1 e - x + c 2 e x

Resposta

y x = - e - x 2 ∫ e x x d x + e x 2 ∫ e - x x d x + c 1 e - x + c 2 e x

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