Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

( a ) Resolva a equação de Euler abaixo.

4 x 2 y ' ' - 4 x y ' + 3 y = 0 ,         x > 0 .

( b ) Resolva a equação não homogênea abaixo via variação de parâmetros. (Obs: a homogênea associada está no item ( a ) ).

4 x 2 y ' ' - 4 x y ' + 3 y = 8 x 4 3

Passo 1

Para resolver essa equação de Euler, precisamos lembrar que ela é da forma (para o caso de ordem 2 ):

x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

Transformando a nossa EDO:

x 2 y ' ' - x y ' + 3 4 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Depois disso, transformamos num polinômio desse jeito:

r 2 + α - 1 r + β = 0

r 2 - 2 r + 3 4 = 0

r 1 = 3 2 r 2 = 1 2

Como temos duas raízes reais e distintas r 1 ≠ r 2 :

y x = c 1 x r 1 + c 2 x r 2

y x = c 1 x 3 / 2 + c 2 x 1 / 2

Passo 3

Agora temos que resolver:

4 x 2 y ' ' - 4 x y ' + 3 y = 8 x 4 3

A solução geral é y x = y h + y p

Lembre-se de que já calculamos a solução da homogênea! Só precisamos então de y p e o enunciado pede que façamos pelo método da variação dos parâmetros. Para isso, temos que deixar o y ' ' sozinho!

y ' ' - 1 x y ' + 3 4 x 2 y = 2 x - 2 3

Sendo assim:

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

Onde B x = 2 x - 2 3 e:

y 1 = x 3 2 → y 1 ' = 3 2 x 1 2 ,     y 2 = x 1 2 → y 2 ' = 1 2 x - 1 2

f 1 = ∫ y 2 B x y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1 d x = ∫ x 1 2 2 x - 2 3 3 2 x 1 2 x 1 2 - 1 2 x - 1 2 x 3 2 d x = ∫ 2 x - 1 6 x d x = ∫ 2 x - 7 6 d x = - 12 x - 1 6

f 2 = - ∫ y 1 B x y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1 d x = - ∫ x 3 2 2 x - 2 3 x d x = - ∫ 2 x - 1 6 d x = - 12 5 x 5 6

Passo 4

Então

y p = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p = - 12 x - 1 6 x 3 2 - 12 5 x 5 6 x 1 2 = - 12 x 4 3 - 12 5 x 4 3

Passo 5

Tcharaaaaaan, finalmente:

y x = y h + y p

y x = c 1 x 3 / 2 + c 2 x 1 / 2 - 72 5 x 4 3

Resposta

a   y x = c 1 x 3 / 2 + c 2 x 1 / 2

b   y x = c 1 x 3 / 2 + c 2 x 1 / 2 - 72 5 x 4 3

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