Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Encontre a solução geral da equação diferencial

y ' ' + y = sec 3 ⁡ x ,     0 < x < π 2 .

Passo 1

Aqui convêm separar nossa equação na parte homogênea y h e particular y p . Assim, a solução será dada por: y x = y h + y p

Sendo a EDO homogênea associada: y ' ' + y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então resolver a parte homogênea. Pela equação característica, temos: r 2 + 1 = 0

Logo: r = ± - 1 = ± i

Assim, como temos raízes imaginárias, a solução será da forma: y h x = C 1 e 0 sen ⁡ x + C 2 e 0 cos ⁡ x

y h x = C 1 sen ⁡ x + C 2 cos ⁡ x

Passo 3

OK, a solução homogênea já foi. Vamos agora para a solução particular.

y ' ' + y = sec 3 ⁡ x

Como a parte não-homogênea não é uma função convencional, como um polinômio, uma exponencial, senos ou cossenos, então não podemos simplesmente chutar o valor e testar.

Então, neste caso então usaremos o método da variação dos parâmetros. Para tal, consideramos a forma geral da EDO de segunda ordem:

A x y ' ' + B x y ' + C x y = D x

y h x = C 1 y 1 + C 2 y 2

E então temos: y p x = f 1 y 1 + f 2 y 2

Sendo:

f 1 x = ∫ y 2 x D x M d x

f 2 x = - ∫ y 1 x D x M d x

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

Comparando com o que temos para a EDO:

A x y ' ' + B x y ' + C x y = D x

y ' ' + y = sec 3 ⁡ x

A x = 1 B x = 0 C x = 1 D x = sec 3 ⁡ x

Para a solução homogênea:

y h x = C 1 y 1 + C 2 y 2

y h x = C 1 sen ⁡ x + C 2 cos ⁡ x

y 1 = sen ⁡ x y 2 = cos ⁡ x

OK. Para determinar M , vamos achar as derivadas: y 1 ' = cos ⁡ x

y 2 ' = - sen ⁡ x

Agora: M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = cos ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x = cos 2 ⁡ x - - sen 2 ⁡ x = 1

Agora, podemos encontrar f 1 :

f 1 x = ∫ y 2 x D x M d x

f 1 x = ∫ cos ⁡ x ⋅ sec 3 ⁡ x 1 d x

f 1 x = ∫ cos ⁡ x ⋅ 1 cos 3 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x d x

Como tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x : f 1 x = ∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x

Sem a constante mesmo. Seguindo a mesma ideia, temos: f 2 x = - ∫ y 1 x D x M d x

f 2 x = - ∫ sen ⁡ x ⋅ sec 3 ⁡ x 1   d x  

f 2 x = ∫ - sen ⁡ x cos 3 ⁡ x d x

Temos aqui a função cos ⁡ x e sua derivada aparecendo. Então, podemos fazer a substituição: u = cos ⁡ x d u = - sen ⁡ x d x

f 2 x = ∫ d u u 3 = 1 - 2 u 2 = 1 - 2 ⋅ 1 u 2 = 1 - 2 ⋅ 1 cos 2 ⁡ x = - 1 2 sec 2 ⁡ x

Ou seja, nossa solução particular será: y p x = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p x = tg ⁡ x ⋅ sen ⁡ x - 1 2 sec 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

y p x = tg ⁡ x sen ⁡ x - 1 2 sec ⁡ x

Passo 4

Temos nossa solução homogênea e temos nossa solução, particular. Assim, podemos montar nossa solução geral:

y x = y h + y p

y x = C 1 sen ⁡ x + C 2 cos ⁡ x + tg ⁡ x sen ⁡ x - 1 2 sec ⁡ x

E essa será nossa solução final.

Resposta

y x = C 1 sen ⁡ x + C 2 cos ⁡ x + tg ⁡ x sen ⁡ x - 1 2 sec ⁡ x

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