Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Passo 1

Primeiro vamos identificar a solução da equação homogênea, então, temos:

x y ' ' - 4 y = 0

Vamos multiplicar essa equação por x :

x 2 y ' ' - 4 x y = 0

Essa é uma equação de Euler-Cauchy a equacao indicial é:

r ( r - 1 ) - 4 r = 0

As raízes são: r = 0 e r = 5 .

Assim, temos que a solução da homogênea é:

y h x = c 1 + c 2 x 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos encontrar a solução particular pelo método da variação de parâmetros. Identificando y 1 ( x ) e y 2 ( x ) , temos:

y 1 x = 1 y 2 x = x 5

Assim, a equação particular é da forma:

y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 ( x )

y p x = f 1 x . 1 + f 2 x . x 5

Passo 3

Vamos agora calcular o wronskiano, mas antes devemos calcular y 1 ' x e y 2 ' x , assim:

y 1 ' x = 0 y 2 ' x = 5 x 4 Assim, temos que o wronskiano é:

W ( x ) = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x

Então:

W x = 0 - 5 x 4 ⋅ 1 =   - 5 x 4

Passo 4

Assim, vamos encontrar a solução particular da equação:

y ' ' - 4 x y ' = x 3

Onde B x = x 3

Assim, temos que as funções podem ser escritas como:

f 1 ' x = y 2 x . B x W = x 5 ⋅ x 3 - 5 x 4 = - x 4 5

f 2 ' x = - y 1 x . B x M = - x 3 - 5 x 4 = 1 5 x

Calculando f 1

d f 1 d x = - x 6 5 f 1 ( x ) = ∫ - x 4 5 d x =   - x 5 2 5

Calculando f 2

d f 2 d x = 1 5 x

f 2 x = ∫ 1 5 x d x = 1 5 ln ⁡ x

Assim, temos que a solução particular é:

y p x = f 1 x ⋅ 1 + f 2 x ⋅ x 5

Como já achamos f 1 e f 2 :

y p x = - x 5 25 ⋅ 1 + 1 5 ln ⁡ x ⋅ x 5

Assim:

y x = y p x + y h x y x = - x 5 25 + x 5 5 ln ⁡ x + y h x = c 1 + c 2 x 5

Resposta

y x = - x 5 25 + x 5 5 ln ⁡ x + y h x = c 1 + c 2 x 5

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