Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Obtenha a solução geral da EDO:

y ' ' - 2 y ' + y = e t t                   ( t > 0 )

Passo 1

O que a gente tem nessa questão é uma EDO de 2 ª ordem não homogênea, sabe o porquê? Bom, a maior derivada envolvida é a de ordem 2 e a ela é não homogênea porque está igualada a uma função de t .

Porém, amigx, essa função de t é bem diferente daquelas que sabemos resolver. Nesta questão, teremos que usar o método da variação de parâmetros. Mas daqui a pouco a gente pensa nisso.

Vamos resolver primeiro a EDO homogênea associada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A EDO homogênea associada será:

y ' ' - 2 y ' + y = 0

Logo, o polinômio característico será:

r 2 - 2 r + 1 = 0

∆ = 0

r = 1

Como o ∆ = 0 , nossa raiz tem multiplicidade 2 e nossa solução da homogênea será:

y h = c 1 e t + c 2 t e t

Passo 3

Show, agora vamos nos concentrar em encontrar a solução particular. Como iremos utilizar o Método da Variação dos Parâmetros, essa solução vai ser da forma:

y p = f 1 e t + f 2 t e t

Sabendo que f 1 e f 2 são funções de t , você lembra como as encontramos? Vamos chamar y 1 = e t , y 2 = t e t e B t = e t / t . Dá uma olhada na fórmula:

f 1 = ∫ y 2 B t y 1 ' y 2 - y 1 y 2 ' d t

f 2 = - ∫ y 1 B t y 1 ' y 2 - y 1 y 2 ' d t

Então, se y 1 = e t → y 1 ' = e t e y 2 = t e t   → y 2 ' = e t ( t + 1 ) . Daí, segue que:

f 1 = ∫ t e t e t t e t t e t - e t e t ( 1 + t ) d t = ∫ e 2 t - e 2 t d t = - t

f 2 = - ∫ e t e t t e t t e t - e t e t 1 + t d t = - ∫ e 2 t - t e 2 t d t = ∫ 1 t d t = ln ⁡ t

Passo 4

Agora que já sabemos f 1 e f 2 , sabemos que nossa particular vai ser:

y p = f 1 e t + f 2 t e t

y p = - t e t + t e t ln ⁡ t

Passo 5

AEEEEE! Só falta agora a solução geral, que é da forma:

y t = y h + y p

y t = c 1 e t + c 2 t e t - t e t + t e t ln ⁡ t

y t = c 1 e t + c 2 t e t + t e t ln ⁡ t

Resposta

y t = c 1 e t + c 2 t e t + t e t ln ⁡ t

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