Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Método da variação dos parâmetros(Lagrange)

Determine a solução geral da equação y ' ' - 4 y ' + 4 y = e 2 x ln ⁡ x

Passo 1

Bem, com não da pra usar coeficientes a determinar com um ln ⁡ x do outro lado, então vamos pra variação dos parâmetros!

A primeira coisa se fazer é determinar a solução da homogênea:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

Indo para a equação característica:

r 2 - 4 r + 4 = 0

Assim temos as raízes:

r 1 = r 2 = 2

Raiz dupla! Então a solução é:

y h = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela teoria de variação dos parâmetros, a solução particular é dada por:

y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 ( x )

Que fica:

  y p x = e 2 x . f 1 x + x e 2 x . f 2 ( x )  

Então vamos calular y 1 ' x   e   y 2 ' ( x ) :

y 1 ' x = 2 e 2 x

y 2 ' x = e 2 x + 2 x e 2 x

Podemos desenhar a matriz para facilitar a memória:

y 1 ' x y 2 ' x y 1 x y 2 x f 1 ' x f 2 ' x = B x 0

Daí temos que:

f 1 ' x f 2 ' x = 1 y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x y 2 x - y 2 ' x - y 1 x y 1 ' x B x 0

Onde B x = e 2 x ln ⁡ x

(Você pode usar a chamada regra de Kramer para resolver isso, eu só multiplico pelo inverso mesmo haha, da uma olhada na teoria na parte de de demonstração que tá lá!)

Assim podemos calcular:

M = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x = 2 e 2 x x e 2 x - e 2 x + 2 x e 2 x e 2 x = - e 4 x

Assim temos que

f 1 ' x = y 2 x B x M →   f 1 x = ∫ y 2 x . B x M d x

E do mesmo jeito:

f 2 x = ∫ - y 1 x . B x M d x

Substituindo:

f 1 x = ∫ x e 4 x . e 2 x ln ⁡ x - e 4 x d x = - ∫ x ln ⁡ x d x

Da para resolver essa integral com uma integração por partes:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

d v = x d x → v = x 2 2

Assim fica:

f 1 x = - ∫ x ln ⁡ x d x = - x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2 2 x d x = x 2 4 - x 2 2 ln ⁡ x

Agora para o próximo:

f 2 x = ∫ - y 1 x . B x M d x = ∫ - e 2 x . e 2 x ln ⁡ x - e 4 x d x = ∫ ln ⁡ x d x

Novamente por integração por partes:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

d v = d x → v = x

Assim fica:

f 2 x = ∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ 1 x x d x = x ( ln ⁡ x - 1 )

Então a solução da particular é:

y p x = e 2 x . f 1 x + x e 2 x . f 2 ( x )

Substituindo:

y p x = e 2 x . x 2 4 - x 2 2 ln ⁡ x + x e 2 x . x ln ⁡ x - 1

Passo 3

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Assim fica:

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + e 2 x . x 2 4 - x 2 2 ln ⁡ x + x e 2 x . x ln ⁡ x - 1

Da para colocar em evidência:

y = e 2 x c 1 + c 2 x + . x 2 4 - x 2 2 ln ⁡ x + x . x ln ⁡ x - 1

Unindo os termos:

y = e 2 x c 1 + c 2 x - 3 x 2 4 + x 2 2 ln ⁡ x

Tchã!

Resposta

y = e 2 x c 1 + c 2 x - 3 x 2 4 + x 2 2 ln ⁡ x

c 1 , c 2 ∈ R

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