Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Considere a equação diferencial de segunda ordem, homogênea,

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

Resolva a equação diferencial não homogênea.

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 4 e x   c o s s e c 2 x

Passo 1

Falaaa, como vai? Vamos resolver essa EDO. A solução dela tem essa cara:

y x = y h + y p

Onde y h é a solução da EDO homogênea corresponde a nossa EDO:

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

A gente a resolve pela equação característica:

r 2 - 2 r + 5 = 0

As raízes dessa equação são complexas e tem essa carinha:

r = 1 ± 2 i

A gente compara isso com

r = α ± β i

Aí temos

α = 1 ,   β = 2

Como nossas raízes são complexas, nossa solução da EDO homogênea vai ter essa forma:

y h = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2   s e n β x

y h = e x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2   s e n 2 x

Então essa é a nossa solução homogênea. Falta achar a particular. Vem comigo!

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Passo 2

Repara ali no lado direito da nossa equação:

4 e x   c o s s e c 2 x

A gente não tem só um exponencial, ou um polinômio ou um seno/cosseno, ou uma soma ou produto entre essas funções, por isso vamos precisar usar o método de variação dos parâmetros para achar y p .

Ele serve para encontrar y p quando temos essas funções mais complexas. E como ele funciona?

A gente começa considerando que a nossa solução particular é bem parecida com a homogênea que a gente achou:

y h = e x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2   s e n 2 x

Mas para a particular, no lugar das constantes c , teremos funções, assim:

y p = e x f 1 cos ⁡ 2 x + f 2   s e n 2 x

y p = f 1   e x cos ⁡ 2 x + f 2   e x   s e n 2 x

Vamos dizer que y 1 = e x cos ⁡ 2 x e y 2 = e x   s e n 2 x . Aí a ideia é achar f 1 e f 2 , belezinha?

Passo 3

Cara, vamos começar achando M . Quem? Calma, tem uma fórmulinha para ele:

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1

Substituindo nossas coisinhas:

y 1 = e x cos ⁡ 2 x

y 1 ' = e x cos ⁡ 2 x - 2 e x   s e n 2 x

y 2 = e x   s e n 2 x

y 2 ' = e x   s e n 2 x + 2 e x cos ⁡ 2 x

Aí nosso M fica:

M = e x cos ⁡ 2 x - 2 e x   s e n 2 x e x s e n 2 x - e x   s e n 2 x + 2 e x cos ⁡ 2 x e x cos ⁡ 2 x

M = e 2 x cos ⁡ 2 x s e n 2 x - 2 e 2 x   s e n 2 2 x - e 2 x cos ⁡ 2 x s e n 2 x - 2 e 2 x cos 2 ⁡ 2 x

M = - 2 e 2 x   s e n 2 2 x - 2 e 2 x cos 2 ⁡ 2 x

M = - 2 e 2 x s e n 2 2 x + cos 2 ⁡ 2 x

M = - 2 e 2 x

Passo 4

Aí a gente usa essas fórmulinhas para achar f 1 e f 2 :

f 1 x = ∫ y 2 x B x M d x ,     f 2 x = ∫ - y 1 x   B x M d x

Onde B é aquela função do lado direito da nossa equação B x = 4 e x c o s s e c 2 x .

Aí a gente faz:

f 1 x = ∫ e x   s e n x   4 e x   c o s s e c   2 x - 2 e 2 x = ∫ - 2 ⋅ s e n 2 x ⋅ 1 s e n 2 x d x

f 1 x = - 2 x

f 2 x = ∫ - e x cos ⁡ 2 x   4   e x   c o s s e c 2 x - 2 e 2 x d x = 2 ∫ cos ⁡ 2 x s e n 2 x d x

A gente resolve essa fazendo a substituição u = s e n 2 x :

d u d x = 2 cos ⁡ 2 x ∴ d u 2 = cos ⁡ 2 x d x

f 2 x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ s e n   2 x

Passo 5

Aí a nossa solução particular fica assim:

y p = f 1   e x cos ⁡ 2 x + f 2   e x   s e n 2 x

y p = - 2 x   e x cos ⁡ 2 x + ln ⁡ s e n   2 x   e x   s e n 2 x

y p = e x - 2 x cos ⁡ 2 x + ln ⁡ s e n 2 x   s e n 2 x

E a solução geral fica:

y x = y h + y p

y x = e x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2   s e n 2 x + e x - 2 x cos ⁡ 2 x + ln ⁡ s e n 2 x   s e n 2 x

Resposta

y x = e x c 1 cos ⁡ 2 x + c 2   s e n 2 x + e x - 2 x cos ⁡ 2 x + ln ⁡ s e n 2 x   s e n 2 x

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