Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Método da variação dos parâmetros(Lagrange), EDO de 2ª ordem com coeficientes variáveis

a) Resolva a equação de Euler-Cauchy: x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0 ,       x > 0 b) Use o método das variações dos parâmetros para resolver a seguinte equação:  

x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = x ,       x > 0

Passo 1

a)Bem galera, ele já até avisou que é uma EDO de Euler-Cauchy, então só temos que aplicar o método de solução para esse tipo de EDO, simbora:

Chutamos a solução :

y = x r

Derivando:

y ' ( x ) = r x r - 1

y ' ' ( x ) = r ( r - 1 ) x r - 2

Substituindo isso na EDO:

x 2 r r - 1 x r - 2 - 2 x r x r - 1 + 2 x r = 0

Assim a edo ficou, cortando o x r :

r r - 1 - 2 r + 2 = 0 Arrumando:

r 2 - r - 2 r + 2 = 0

Ae fica:

r 2 - 3 r + 2 = 0

Então as raízes são:

r 1,2 = 3 ± 9 - 4.2 2 = 3 ± 9 - 4.2 2 = 3 ± 1 2

Daí temos:

r 1 = 2 r 2 = 1

Como as raízes são distintas, a solução é dada por:

y h = c 1 x 2 + c 2 x

Viu? Já foi!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)A EDO é:

x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = x

Vamos ajeitar ela dividindo tudo por x 2 para encontrarmos y ' ' multiplicado por 1 .

y ' ' - 2 x y ' + 2 x 2 y = 1 x

Pra usar o método você sempre tem que deixar ela com essa cara geral:

y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )

não esqueça disso!

Daí vemos que: B x = 1 x

Ok, agora temos que usar o método da variação dos parâmetros, a primeira coisa é você ver a cara da solução, e ela é sempre baseada na solução homogênea:

y p = f 1 x x 2 + f 2 ( x ) x

Agora temos que descobrir quem é f 1 ( x ) e f 2 ( x )

Então primeiro calculamos:

y 1 = x 2 → y 1 ' = 2 x y 2 = x → y 2 ' = 1

Assim podemos calcular o determinante:

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

Substituindo:

M = 2 x 1 x 2 x = 2 x 2 - x 2 = x 2

Então lá da teoria a gente viu que:

f 1 ' x = y 2 x . B x M = x x 2 1 x   = 1 x 2

Logo:

f 1 x = - 1 x

Vamos para o outro:

f 2 ' x = - y 1 x . B x M = - x 2 x 2 1 x = - 1 x

Daí temos que: f 2 = - ln ⁡ x

Então a solução particular é:

y p = f 1 x x 2 + f 2 ( x ) x

Substituindo:

y p = - 1 x . x 2 - x ln ⁡ x = - x ( 1 + ln ⁡ x )

A solução geral é enfim dada por:

y = y h + y p

y = c 1 x 2 + c 2 x - x ( 1 + ln ⁡ x )

Resposta

  1. y h = c 1 x 2 + c 2 x
  2. y = c 1 x 2 + c 2 x - x ( 1 + ln ⁡ x )

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