Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Usando o método da variação dos parâmetros, determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = x - 3 e 2 x ,     x > 0

Passo 1

A primeira coisa se fazer é determinar a solução da homogênea:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

Indo para a equação característica:

r 2 - 4 r + 4 = 0

Assim temos as raízes:

r 1 = r 2 = 2

Raiz dupla! Então a solução é:

y h = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela teoria de variação dos parâmetros, a solução particular é dada por:

y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 ( x )

Que fica:

  y p x = e 2 x . f 1 x + x e 2 x . f 2 ( x )  

Então vamos calular y 1 ' x   e   y 2 ' ( x ) :

y 1 ' x = 2 e 2 x

y 2 ' x = e 2 x + 2 x e 2 x

Podemos desenhar a matriz para facilitar a memória:

y 1 ' x y 2 ' x y 1 x y 2 x f 1 ' x f 2 ' x = B x 0

Daí temos que:

f 1 ' x f 2 ' x = 1 y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x y 2 x - y 2 ' x - y 1 x y 1 ' x B x 0

Onde B x = x - 3 e 2 x

Assim podemos calcular:

M = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x = 2 e 2 x x e 2 x - e 2 x + 2 x e 2 x e 2 x = - e 4 x

Assim temos que

f 1 ' x = y 2 x B x M →   f 1 x = ∫ y 2 x . B x M d x

E do mesmo jeito:

f 2 x = ∫ - y 1 x . B x M d x

Substituindo:

f 1 x = ∫ x e 2 x x - 3 e 2 x - e 4 x d x = - ∫ x - 2 d x = x - 1

Agora para o próximo:

f 2 x = ∫ - y 1 . B x M d x = ∫ - e 2 x . x - 3 e 2 x - e 4 x d x = ∫ x - 3 d x = - x - 2 2

Então a solução da particular é:

y p x = e 2 x . f 1 x + x e 2 x . f 2 ( x )

Substituindo:

y p x = e 2 x x - e 2 x 2 x = e 2 x 2 x

Passo 3

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Assim fica:

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + e 2 x 2 x

Resposta

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + e 2 x 2 x

c 1 , c 2 ∈ R

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