Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 218 - 32

Sabendo-se que y 1 = c o s ⁡ ( ln ⁡ x )   ,     y 2 = s e n ( l n x ) são soluções linearmente independentes para x 2 y " + x y ' + y = 0 em ( 0 ,   ∞ ) ,

  1. Encontre a solução particular para:
  2. x 2 y " + x y ' + y =   s e c ⁡ ( l n ( x ) )

  3. Dê a equação solução geral para a equação e defina um intervalo para que esta seja válida

Passo 1

Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:

  1. Arruma a EDO para ficar com a cara: y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )
  2. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: y h x ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
  3. Identificar y 1 ( x ) e y 2 ( x )
  4. Encontrar a cara da solução particular y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 ( x )
  5. Calcular y 1 ' x e y 2 ' x
  6. Calcular M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x
  7. Calcule
  8. f 1 x = ∫ y 2 x . B x M d x

    f 2 x = ∫ - y 1 x . B x M d x

  9. Encontrar solução geral: y x = y h x + y p x
  10. Substituir condições iniciais caso exista

Seguindo exatamente esses passos temos:

  1. Colocando a equação na forma: y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )
  2. Temos:

    y " + y ' / x   + y / x 2 = s e c ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) / x 2

    p x = 1 x

    q x = 1 x 2

    B x = s e c ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) x 2

    Passo 2

  3. O problema já fornece a solução da homogênea.
  4. Passo 3

  5. Temos então:
  6. y 1 = c o s ⁡ ( ln ⁡ x )  

        y 2 = s e n ( ln ⁡ ( x ) )

    Passo 4

  7. A solução particular será:
  8. y p x = f 1 x c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) + f 2 x s e n ( ln ⁡ x )

    Passo 5

  9. Calculando :
  10. Pela regra da cadeia:

    y 1 ' = - s e n ln ⁡ x x

    Também pela regra da cadeia:

    y 2 ' = cos ⁡ ln ⁡ x x

    Passo 6

  11. Calculando M temos:
  12. M = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x

    M = - s e n ln ⁡ x x s e n ( l n x ) - cos ⁡ ln ⁡ x x cos ⁡ ln ⁡ x

    M = - s e n ln ⁡ x 2 x - cos ⁡ ln ⁡ x 2 x = - s e n ln ⁡ x 2 + cos ⁡ ln ⁡ x 2 x

    Agora, pela relação fundamental da trigonometria:

    s e n ln ⁡ x 2 + cos ⁡ ln ⁡ x 2 = 1

    Portanto,

    M = - 1 x

    Passo 7

  13. Calculando:

f 1 x = ∫ s e n l n x . sec ⁡ ln ⁡ x x 2   - 1 x d x

Temos:

f 1 x = - ∫ x s e n l n x . sec ⁡ ln ⁡ x x 2 d x

Sabemos ainda que:

sec ⁡ ln ⁡ x = 1 c o s ⁡ ( ln ⁡ x )

Substituindo:

f 1 x = - ∫ 1 x s e n l n x . 1 c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) d x

f 1 x = - ∫ 1 x s e n ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x   d x

Alguém sabe como resolver isso? Essa integral é meio chatinha mas dá pra fazer.

Vamos começar fazendo a substituição:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

d x = x d u

Substituindo:

f 1 x = - ∫ s e n u cos ⁡ u 1 x x d u = - ∫ s e n u cos ⁡ u d u

Agora vamos fazer mais uma substituição:

v = c o s ⁡ ( u )

d v = - s e n u d u

d u = d v - s e n u

Substituindo temos:

f 1 x = - ∫ s e n u v 1 - s e n u d v

f 1 x = ∫ 1 v d v

f 1 x = ln ⁡ v

f 1 x = ln ⁡ cos ⁡ u

f 1 x = l n ⁡ | c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) |

Calculando :

f 2 x = ∫ - c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) . s e c ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) x 2 - 1 x d x

f 2 x = ∫ ( cos ⁡ ln ⁡ x ) sec ⁡ ln ⁡ x x   d x

Sabemos que:

sec ⁡ ln ⁡ x = 1 c o s ⁡ ( ln ⁡ x )

Então:

f 2 x = ∫ 1 x   d x

f 2 x = ln ⁡ x = l n ⁡ ( x )

Pois estamos trabalhando com o intervalo ( 0 , ∞ )

Logo:

y p x = f 1 x cos ⁡ ln ⁡ x + f 2 x s e n ln ⁡ x

y p x = l n ⁡ | c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) | cos ⁡ ln ⁡ x + l n ⁡ ( x ) s e n ln ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

  1. Vamos Encontrar a solução geral:

y x = y h x + y p x

Sabemos que :

y h x = c 1 y 1 + c 2 y 2

Logo:

y h x = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x   + c 2 s e n ( l n x )

Então:

y x = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x   + c 2 s e n l n x + l n ⁡ | c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) | cos ⁡ ln ⁡ x + l n ⁡ ( x ) s e n ln ⁡ x

Passo 3

Já encontramos a equação geral mas agora temos que encontrar um intervalo para o qual a equação geral esteja válida. Ou seja, devemos encontrar um intervalo em que todos os termo da EDO devem existir:

x 2 y " + x y ' + y =   s e c ⁡ ( l n ( x ) )

Lembre que a função sec ⁡ θ   não está definida nos pontos θ = - π 2 e θ = π 2

Lembrou? Não? Então pra confirmar isso pense no seguinte:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Portanto, s e c ⁡ ( θ ) não está definido nos pontos onde cos ⁡ θ = 0 e dois desses pontos são θ = - π / 2 e θ = π / 2 . Deu pra entender agora?

Então um intervalo possível seria - π 2 < θ < π 2

Mas na verdade não temos s e c ⁡ ( θ ) temos sec ⁡ ln ⁡ x .Portanto, um intervalo possível é - π 2 < ln ⁡ x < π 2 .

Vamos achar um intervalo para x . Aplicando a exponencial em todos os termos temos que o intervalo é equivalente a:

e - π 2 < x < e π 2

Resposta

  1. y p x = l n ⁡ | c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) | cos ⁡ ln ⁡ x + l n ⁡ ( x ) s e n ln ⁡ x
  2. y x = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x   + c 2 s e n l n x + l n ⁡ | c o s ⁡ ( ln ⁡ x ) | cos ⁡ ln ⁡ x + l n ⁡ ( x ) s e n ln ⁡ x

No intervalo   e - π 2 < x < e π 2

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