Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Considere um sistema MMA onde a força externa é F(t) = e −t , a massa é m = 1, a constante de amortecimento é b = 2 e a constante da mola é k = 1. Pela segunda Lei de Newton, a posição y(t) da massa em relação ao equilíbrio satisfaz

a) Determine a solução geral da homogênea.

b) Determine a solução geral da não homogênea.

c) A posição da massa tende a zero quando t cresce?

d) Determine a posição y(t) da massa se a posição inicial é y(0) = 1 e a velocidade inicial é y’(0) = 0.

Passo 1

Falaaa, pessoal! Como vocês estão? Bora começar mais essa questão da lista. Começando pelo Item a), A equação característica da homogênea é

r 2 + 5 r + 4 = 0

Cujas raízes são r = - 1   e r = - 4 . As duas soluções são fundamentais são dadas por

q 1 t = e - t e q 2 t = e - 4 t

Segue que a solução geral da homogênea é:

q t = c 1 e - t + c 2 e - 4 t

Passo 2

Para o item b), pelo método da variação dos parâmetros, a solução geral é dada por,

q t = c 1 t e - t + c 2 t e - 4 t

Onde,

W q 1 t , q 2 t = c 1 t d e t c 2 t = - 3 e 5 t

c 1 t = 1 15 e t cos ⁡ 2 t + 2 15 e t s e n 2 t + c 1

c 2 = - 1 15 e 4 t cos ⁡ 2 t - 1 30 e 4 t s e n 2 t + c 2

Passo 3

Já no item c), como,

q t = 1 10 s e n 2 t + c 1 e - t + c 2 e - 4 t

segue que a carga não tende a zero quando t cresce, uma vez que o limite dela ao infinito não existe.

Resposta

a ) q t = c 1 e - t + c 2 e - 4 t

b ) c 1 t = 1 15 e t cos ⁡ 2 t + 2 15 e t s e n 2 t + c 1

c 2 = - 1 15 e 4 t cos ⁡ 2 t - 1 30 e 4 t s e n 2 t + c 2

c ) T e n d e   a   0 .

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