Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

EDO de 2ª ordem com coeficientes variáveis, Método da variação dos parâmetros(Lagrange)

Determine a solução geral da equação diferencial:

t 2 y ' ' - 3 t y ' + 4 y = t 2 ln ⁡ t - 3 ,     t > 3

Passo 1

Fala galera! Olha pra cara dessa EDO, vemos que o grau das derivadas coincide com o grau dos polinômios que multiplicam elas, então a parte homogênea desse cara é uma EDO de Euler! E é exatamente da solução da homogênea que vamos começar!

t 2 y ' ' - 3 t y ' + 4 y = 0

Vimos que para resolver esse rapazola bastava substituir y = t r

Derivando:

y ' = r t r - 1 y ' ' = r - 1 r t r - 2 = r 2 - r t r - 2

Substituindo:

t 2 r 2 - r t r - 2 - 3 t r t r - 1 + 4 t r = 0

Organizando:

r 2 - r - 3 r + 4 t r = 0 r 2 - 4 r + 4 t r = 0 ↔ r 2 - 4 r + 4 = 0 → r 1,2 = 4 ± 16 - 4.4 . 1 2 = 2

Opa, raízes iguais, então a solução da homogênea associada é dada por:

y h = a 1 t 2 + a 2 t 2 ln ⁡ t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem bem, resolvemos a homogênea, agora temos que resolver a particular para achar a solução geral, então a EDO tem essa cara:

t 2 y ' ' - 3 t y ' + 4 y = t 2 ln ⁡ t - 3  

O melhor a fazer com esses coeficientes variáveis é chamar o tio Lagrange e usar o método da variação dos parâmetros!

Lembra como resolve?! Primeiro deixamos com a cara : y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )

Então dividimos tudo por t 2 :

y ' ' - 3 t y ' + 4 t 2 y = ln ⁡ t - 3  

Passo 3

Já temos a solução da homogênea, então a solução da particular fica:

y p x = y 1 x . f 1 x + y 2 x . f 2 x = t 2 . f 1 x + t 2 ln ⁡ t f 2 ( x )

Agora devemos calcular f 1 ( x ) e f 2 ( x ) , para isso calculamos o determinante antes:

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 1 = 2 t 2 t ln ⁡ t + t t 2 t 2 ln ⁡ t = - t 3

Ok, agora vamos calcular:

f 1 x = ∫ y 2 x . B x M d x = ∫ t 2 ln ⁡ t ln ⁡ t - 3 - t 3 d x = - ∫ ln ⁡ t - 2 t d x

Como resolver esse paranauê? Substitua u = ln ⁡ t → d u = 1 t d t , assim na integral fica:

- ∫ ln ⁡ t - 2 t d x = - ∫ u - 2 d u = u - 1 = ln ⁡ t - 1 = 1 ln ⁡ t

Assim ficou:

f 1 x = 1 ln ⁡ t

E por fim vamos calcular:

f 2 x = ∫ - y 1 x . B x M d x = ∫ t 2 ln ⁡ t - 3 t 3 d x = ∫ ln ⁡ t - 3 t d x

Fazendo a mesma substituição u = ln ⁡ t → d u = 1 t d t :

f 2 x = ∫ ln ⁡ t - 3 t d x = ∫ u - 3 d u = - 1 2 u - 2 = - 1 2 ln ⁡ t - 2 = - 1 2 1 ln ⁡ t 2

A solução particular fica:

y p = t 2 ln ⁡ t + t 2 ln ⁡ t - 1 2 1 ln ⁡ t 2 = t 2 ln ⁡ t - 1 2 t 2 ln ⁡ t = 1 2 t 2 ln ⁡ t

Passo 4

Assim a solução geral é:

y = y h + y p

Substituindo:

y = a 1 t 2 + a 2 t 2 ln ⁡ t + 1 2 t 2 ln ⁡ t

E fechamos!

Resposta

y = a 1 t 2 + a 2 t 2 ln ⁡ t + 1 2 t 2 ln ⁡ t

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