Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Passo 1

Vamos lá resolver essa EDO. Ela não é homogênea e essa função chatinha aí do outro lado da equação complica não é lá muito simples. Então vamos resolver usando o método da variação de parâmetros. De qualquer forma a primeira coisa é resolver como se fosse homogênea.

4 y ' ' + 36 y = 0

y ' ' + 9 y = 0

Determinando a equação característica

r 2 + 9 = 0  

E encontrando as raízes temos

r = ± 3 i

Que nos leva a uma solução homogênea

y h x = C 1 sen ⁡ 3 x + C 2 cos ⁡ 3 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos

y ' ' + 9 y = 1 4 csc ⁡ 3 x  

No método da variação de parâmetros precisamos supor uma solução particular que seja

y p x = f 1 y 1 + f 2 y 2

No nosso caso

y 1 = sen ⁡ 3 x   e   y 2 = cos ⁡ 3 x

Para calcular f 1   e   f 2 precisamos primeiro encontrar M

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

Calculando

M = 3 cos ⁡ 3 x - 3 sen ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x = 3 cos 2 ⁡ 3 x + 3 sen 2 ⁡ 3 x = 3

Passo 3

Agora vamos calcular

f 1 = ∫ y 2 B x M d x

No nosso caso

B x = 1 4 csc ⁡ 3 x

Então

f 1 = ∫ cos ⁡ 3 x csc ⁡ 3 x 3.4   d x = 1 12 ∫ cot ⁡ 3 x   d x

Daí

f 1 = 1 36 ln ⁡ sen ⁡ 3 x

Falta calcular f 2

f 2 = ∫ - y 1 B x M d x

f 2 = ∫ - sen ⁡ 3 x csc ⁡ 3 x 3   . 4   d x = - 1 12 ∫ d x

f 2 = - 1 12 x

Passo 4

Então nossa solução particular é

y p x = f 1 y 1 + f 2 y 2

y p = 1 36 sen ⁡ 3 x ln ⁡ sen ⁡ 3 x - 1 12 x cos ⁡ 3 x

E como sabemos que

y x = y h x + y p x

Então

y x = C 1 sen ⁡ 3 x + C 2 cos ⁡ 3 x - x cos ⁡ 3 x 12 + sen ⁡ 3 x ln ⁡ sen ⁡ 3 x 36

Resposta

y x = C 1 sen ⁡ 3 x + C 2 cos ⁡ 3 x - x cos ⁡ 3 x 12 + sen ⁡ 3 x ln ⁡ sen ⁡ 3 x 36

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