Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Ver Teoria

Enunciado

Seja L y = y ' ' + P 1 y ' + P 2 y . Para resolver a equação não homogênea L y = R ( x ) , por variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções linearmente independentes da equação homogênea associada. Suponha que a solução u 1 de L y = 0 seja conhecida, e que não se anule no intervalo J .

  1. Prove que a outra solução de L y = 0 pode ser dada pela fórmula u 2 x = u 1 ∫ c x Q t u 1 t 2 d t , onde Q t = e - ∫ P 1 x d x , e c é um ponto em J .
  2. Mostre que u 1 ( x ) e u 2 ( x ) são linearmente independentes em J .

Passo 1

Faaala pessoal. Basicamente, temos dois jeitos de provar que u 2 x = u 1 ( x ) v ( x ) com v x = ∫ c x Q t u 1 t 2 d t é solução de L y = 0 : deduzimos v ou fazemos L u 2 = L ( u 1 v ) com a v conhecida e provar que é nula. Vamos pesquisar soluções da forma y x = u 1 ( x ) v ( x ) para L y = 0 . Substituindo na EDO homogênea associada, temos:

L y = y ' ' + P 1 y ' + P 2 y = 0

⇒ L u 1 v = u 1 ' ' v + 2 u 1 ' v ' + u 1 v ' ' + P 1 u 1 ' v + u 1 v ' + P 2 u 1 v = 0

⇒ u 1 v ' ' + 2 u 1 ' + P 1 u ! v ' + u 1 ' ' + P 1 u 1 ' + P 2 u 1 ⏟ = L u 1 = 0 v = 0       ( : u 1 )

⇒ v ' ' + 2 u 1 ' u 1 + P 1 v ' = 0

Na qualidade de equação separável, façamos:

v ' ' v ' = - 2 u 1 ' u 1 + P 1 ⇒ ∫ c x v ' ' v ' d t = - ∫ c x 2 u 1 ' u 1 + P 1 d t ⇒

⇒ ln ⁡ | v ' x | - ln ⁡ v ' c = - 2 ln ⁡ u 1 x + 2 ln ⁡ u 1 c - ∫ c x P 1 d t

⇒ ln ⁡ v ' x v ' c = ln ⁡ u 1 c 2 ⋅ e x p ⁡ ( - ∫ c x P 1 d t ) u 1 x 2

Assim, para uma constante k ∈ R :

v ' x = k e x p ⁡ ( - ∫ c x P 1 d t ) u 1 x 2

⇒ v x = k 1 ∫ c x e x p ⁡ ( - ∫ c s P 1 d t ) u 1 s 2 d s + k 2

Logo,

y = k 1 u 1 ∫ c x e x p ⁡ ( - ∫ c s P 1 d t ) u 1 s 2 d s + k 2 u 1

De forma que u 2 = u 1 ∫ c x e x p ⁡ ( - ∫ c s P 1 d t ) u 1 s 2 d s é solução da EDO dada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' - 2 y ' + y = e x 1 + x 2
Resolva a equação diferencial usando Coeficientes indeterminados eVariação de parâmetros. y ' ' - y ' = e x
Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' + 4 y ' + 4 y = e - 2 x x 3
Em cada um dos problemas de 29 a 32, use o método esquematizando no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada. t 2 y ' ' - 2 t y ' + 2 y = 4 t 2 , t0 ; y 1 t = t
Em cada um dos problemas de 29 a 32, use o método esquematizando no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada. 1 - t y ' ' + t y ' - y = 2 t - 1 2 e - t , 0t1 ;y 1 t = e t (veja o Problema