Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial, utilizando o método de variação dos parâmetros.

x 2 y ' ' - 7 x y ' - 9 y = x 3 ,     x > 0 .

Passo 1

Sabemos que o primeiro passo é encontrar a solução da parte homogênea. Então bora fazer isso aí.

Observa que aqui quem vai salvar a gente vai se a equação de Euler-Cauchy

A solução sugerida vai ser o

y x = x r

Calculando logo as derivadas teremos

y ' = r x r - 1

y ' ' = r r - 1 x r - 2

Substituindo então na nossa equação

x 2 r r - 1 x r - 2 - 7 x r x r - 1 - 9 x r = 0

x r r 2 - r - 7 r - 9 = 0

x r r 2 - 8 r - 9 = 0

Nossas soluções são então

r 1 = - 1 ,       r 2 = 9

Nossa solução então ali fica

y h x = C 1 x - 1 + C 2 x 9

Nosso y 1 = 1 x e y 2 = x 9

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a solução particular agora, teremos

y p x = f 1 x y 1 + f 2 x y 2

Que até agora temos que vale

y p x = f 1 x + f 2 x 9

Passo 3

Como encontramos o f 1 e f 2 ?

f 1 = ∫ y 2 B x M

f 2 = - ∫ y 1 B x M

Onde M = y 1 ' y 2 - y 2 ' y 1 ,   e o B x é o termo estranho depois so igual, que no nosso caso é o x 3 .

Bora calcular esse M .

M = - 1 x 2 × x 9 - 9 x 8 × 1 x = - x 7 - 9 x 7 = - 10 x 7

Passo 4

Com isso podemos montar nossas integrais.

f 1 = ∫ y 2 B x M = f 1 = ∫ x 9 x 3 - 10 x 7 d x = - 1 10 × x 6 6 = - x 6 60

f 2 = - ∫ y 1 B x M = 1 10 ∫ x 3 x x 7 d x = 1 10 ∫ x - 5 d x = - 1 40 x 4

Podemos então voltar pra nossa solução particular, que será

y p x = f 1 x + f 2 x 9

y p x = - x 6 60 x + - 1 40 x 4 x 9 = - x 5 60 - x 5 40 = x 5 - 2 120 + - 3 120 = - x 5 24

Passo 5

Nossa solução geral será então

y x = y h + y p

y x = C 1 x - 1 + C 2 x 9 - x 5 24

Resposta

y x = C 1 x - 1 + C 2 x 9 - x 5 24

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