Exercícios Resolvidos de Método da Variação dos Parâmetros

Dada a equação diferencial de segunda ordem y ' ' + y = 0 ,

  1. Usando o método dos coeficientes a determinar resolva o problema de valor inicial
  2. y ' ' + y = cos ⁡ x

    y 0 = y ' 0 = - 1

  3. Resolva a equação diferencial

y ' ' + y = 1 cos ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2

Passo 1

Show, vamos primeiro resolver o problema de valor inicial da letra (a). A solução será dada pela soma da solução da parte homogênea com a parte particular:

y x = y h x + y p x

Começamos com a parte homogênea:

y ' ' + y = 0

Temos aqui a equação característica: r 2 + 1 = 0

r = ± - 1

r = ± i

Como a raiz deu imaginária, teremos uma solução na forma de senos e cossenos: y h x = A cos ⁡ x + B sen ⁡ x

Agora vamos para a solução particular. Como a parte não homogênea é cos ⁡ x , buscamos uma solução na forma:

y p x = C x cos ⁡ x + D x sen ⁡ x

Em que x aparece para não bater com a solução homogênea. Para achar as constantes, vamos substituir na equação: y p ' ' x + y p x = cos ⁡ x

Para isso, precisamos da segunda derivada. Vamos calculá-la:

y p ' x = C cos ⁡ x - C x sen ⁡ x + D sen ⁡ x + D x cos ⁡ x

y p ' ' x = - C sen ⁡ x - C sen ⁡ x - C x cos ⁡ x + D cos ⁡ x + D cos ⁡ x - D x sen ⁡ x

y p ' ' x = - 2 C sen ⁡ x - C x cos ⁡ x + 2 D cos ⁡ x - D x sen ⁡ x

Agora substituímos na EDO:

- 2 C sen ⁡ x - C x cos ⁡ x + 2 D cos ⁡ x - D x sen ⁡ x + C x cos ⁡ x + D x sen ⁡ x = cos ⁡ x

- 2 C sen ⁡ x + 2 D cos ⁡ x = cos ⁡ x

Comparamos, vemos que: - 2 C = 0 ⟹ C = 0

2 D = 1 ⟹ D = 1 2

Assim, nossa solução particular vai ser: y p x = C x cos ⁡ x + D x sen ⁡ x

y p = 1 2 x sen ⁡ x

Como a solução será a soma das duas: y x = y h x + y p x

y x = A cos ⁡ x + B sen ⁡ x + 1 2 x sen ⁡ x

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes restantes:

y 0 = A cos ⁡ 0 + B sen ⁡ 0 + 1 2 ⋅ 0 ⋅ sen ⁡ 0

y 0 = A = - 1

Legal. Achamos A . Para aplicar a outra condição, derivamos:

y ' x = - A sen ⁡ x + B cos ⁡ x + 1 2 sen ⁡ x + 1 2 x cos ⁡ x

y ' 0 = - A sen ⁡ 0 + B cos ⁡ 0 + 1 2 sen ⁡ 0 + 1 2 ⋅ 0   ⋅ cos ⁡ 0 = - 1

y ' 0 = B = - 1

Show, achamos todas as constantes: y x = A cos ⁡ x + B sen ⁡ x + 1 2 x sen ⁡ x

y x = - cos ⁡ x - sen ⁡ x + 1 2 x sen ⁡ x

E é isso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos para o problema:

y ' ' + y = 1 cos ⁡ x

Novamente, a solução será dada pela soma da solução da parte homogênea com a parte particular:

y x = y h x + y p x

A solução homogênea já foi encontrada no item anterior:

y h x = A cos ⁡ x + B sen ⁡ x

Que está na forma:

y h x = A y 1 + B y 2

y 1 = cos ⁡ x , y 2 = sen ⁡ x

Agora, quanto a solução particular, como não temos parte não homogênea

1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

Não dá para chutarmos uma solução e encontrar os coeficientes, teremos que usar o método da variação de parâmetros em que

y p x = f 1 y 1 + f 2 y 2

Sendo:

f 1 = ∫ y 2 x sec ⁡ x M d x

f 2 = - ∫ y 1 x sec ⁡ x M d x

Com:

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

Assim, vamos calcular cada uma das coisas. Começamos com M :

M = - sen ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x = - sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x = - 1

Portanto:

f 1 = ∫ y 2 x sec ⁡ x M d x = ∫ sen ⁡ x sec ⁡ x - 1 d x

f 1 = - ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x

Para essa integral, fazemos a substituição: u = cos ⁡ x

d u = - sen ⁡ x d x

Logo, teremos: f 1 = ∫ d u u = ln ⁡ u = ln ⁡ cos ⁡ x

Sem constante neste caso, ok? Seguindo:

f 2 = - ∫ y 1 x sec ⁡ x M d x

f 2 = ∫ cos ⁡ x sec ⁡ x d x = ∫ d x = x

Show. Então, nossa solução particular será:

y p x = f 1 y 1 + f 2 y 2

cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x + x sen ⁡ x

Ou seja, como temos:

y x = y h x + y p x

y h x = A cos ⁡ x + B sen ⁡ x

y p x = f 1 y 1 + f 2 y 2

Nossa solução final será:

y x = A cos ⁡ x + B sen ⁡ x + cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x + x sen ⁡ x

y x = ln ⁡ cos ⁡ x + A cos ⁡ x + x + B sen ⁡ x

E é isso. 😊

Resposta

y x = ln ⁡ cos ⁡ x + A cos ⁡ x + x + B sen ⁡ x

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